层次分析法中的指数型标度问题研究

王立民,杨振宇,白汉斌,李俊美

(1.北京系统工程研究所,北京100101;2.军事科学院,北京100091)

0 引言

层次分析法是系统分析工具之一,它通过两两比较的方式确定层次中诸元素的相对重要性,然后综合决策者判断,确定诸元素相对重要性的总排序。整个过程体现了人的决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,为许多定性分析研究提供了定量分析的简便方法[1]。在层次分析法应用过程中,最重要步骤就是对同一层次各元素的重要性进行两两比较,从而构造判断矩阵。如果能对两两比较的重要性程度进行定量测量,就可发挥定量分析的作用,这个定量测量的工具就是标度[2]。

1 层次分析法

用层次分析法作系统分析,首先要根据问题的性质和要达到的总目标,将其分解为不同组成元素,并按元素间的相互关联影响及隶属关系将元素按不同层次组合,形成一个多层次分析结构模型,并最终把系统分析归结为底层相对于高层的相对重要性权值确定或相对优劣次序的排序问题。在排序计算中,每一层次的排序可简化为一系列成对元素的判断比较,并根据一定的比率标度将判断定量化,形成比较判断矩阵;通过计算判断矩阵的最大特征值和它的特征向量,即计算出某层次元素对于上一层次中某一元素的相对重要性权值,这种排序计算称为层次单排序,为了得到某一层次相对上一层次的组合权值,用上一层次各个元素分别作为下一层次各个元素间相互比较判断的准则,得到下一层次元素相对于上一层次各个元素的相对重要性权值,然后用上一层次元素的组合权值加权,即得到下一层次元素相对于上一层次整个层次的组合权值,这种排序计算称为层次的总排序。依次沿递阶层次结构由上而下逐层计算,即可计算出底层元素相对于高层的相对重要性权值或相对优劣的排序值。

从层次分析法步骤中可看出,为形成判断矩阵,通常引入了1-9比率标度方法,这使得决策者判断思维数学化[3]。这种将判断思维数学化的方法大大简化了问题的分析,使复杂定量问题分析成为可能,此外这种数学化方法还有助于决策者检查并保持判断思维的一致性,这充分体现了定性与定量相结合的思想,也即合理地对两两比较的重要性程度进行定量测量,如果定量测量可以做到,就可以发挥数学中定量分析的作用,决策过程也会比较容易。因此,层次分析法的基础和核心问题是标度问题。

2 层次分析法的标度

所谓标度是将定性分析转化为定量判断的一种数量指标,是根据人们对客观事物观察所得经验决定的[4]。标度分为绝对标度和相对标度。在层次分析法中,为了形成判断矩阵,通常引入了1-9比率标度方法,但在实际应用中,通常采用的1-9比率标度方法暴露出许多不足,如标度的比值与人们实际的判断相差太远;矩阵一致性与思维一致性脱节;实际结果与思维判断不一致等等问题[5]。因此,很多学者从不同的观点,提出了许多不同的标度系统,如互反型标度、互补型标度等。互反型标度是指采用一些离散的点标度来构造互反判断矩阵,其中1-9标度、指数标度和分数标度如表1所示。互补型标度是通过元素间重要性程度之差得到的,几种常用的互补型标度如表2所示。

表1 1-9标度、指数标度和分数标度

表2 几种常用的互补型标度

众多的标度之间存在差异,由不同的标度所构造的判断矩阵,其一致性也不相同,得出的方案的排序权值也不相同,有的甚至会发生逆序。因此,如何选择一种合理的标度系统是一个亟待解决的问题,下面将对使用最多的互反型标度作重点分析研究。

3 互反型标度选择问题研究

在层次分析法中,当判断矩阵的阶数n=1,2时,正反互判断矩阵是完全一致的;当n≧3时,对于同一个决策问题,由不同标度所构成的判断矩阵,一致性就存在差异现象。下面用数学方法证明常用的互反型标度完全一致性互不相容。

设∀aij∈A,∀bij∈ B,aij=s,ajk=m,aik=t,由A的完全一致性可知:sm=t。

假若B完全一致:

当s,m≥1时,由表1标度之间的对应关系可知

由B的一致性:

当s＞1,m≤1,t≥1时,由表1标度之间的对应关系可知。

由B的一致性:

当s＞1,m≤1,t≤1时,由表1标度之间的对应关系可知

由B的一致性:

当s＜1,m＜1,t＜1,此时与上述3种情况中的某一结果相同。

从证明过程可以看出,在 3种情况下,总有aik=ajk或ajk=aik,由于i,j,k的任意性,A中的任意3行元素至少有2行对应相等,这与命题矛盾。同理可证明B,C,可见,表1中几种常用的互反型标度的完全一致性互不相容。

从以上结果可以看出,标度系统的选择对于决策结果至关重要,不同的标度系统有可能会产生完全不同的结果,对于如何选择合适的标度系统,下面用实验的方法进行进一步分析。

这里取A,B,C分别为1-9比率标度,an指数标度,9/9-9/1标度下的判断矩阵,对于同一个问题的判断矩阵,使用一致性比例检验法进行检验。

分别计算各个判断矩阵的最大特征根λmax,然后计算一致性检验指标接着用Matlab程序计算样本容量10 000的3～9阶矩阵的RI值,其结果如表3所示,最后得到各个判断矩阵相应的CR值(CR=CI/RI)。按同样方法,构造不同标度下的不同阶数的判断矩阵,通过Matlab程序进行大量实验,100次实验结果的统计平均如表4所示。

表3 3～9阶判断矩阵在不同标度系统下的RI值

表4 3～9阶判断矩阵在不同标度系统下的CR值

大量实验结果统计表明,在互反型标度里面,指数标度an的满意一致性检验比率较其他标度的一致性检验比率所占比例最高,可见指数标度an比其他标度更合理,因此,在使用层次分析法进行分析时,采用指数标度会较之其他标度具有更好的一致性。

4 结束语

用数学反证的方法证明了1-9比率标度,an指数标度,9/9-9/1标度下的完全一致互不相容,并利用实验方法得出有实际意义的结论,该分析方法虽然还存在一些误差,但该方法对于分析提高层次分析法的准确度具有一定的实际意义。

[1]王连芬,徐树柏.层次分析法引论[M].北京:中国人民大学出版社,1990.

[2]徐树柏.层次分析法原理[M].天津:天津大学出版社,1988.

[3]谭跃进.定量分析方法[M].北京:中国人民大学出版社,2006.

[4]邓聚龙.灰色系统理论教程[M].武汉:华中理工大学出版社,1990.

[5]杜 栋,庞庆华,吴 炎.现代综合评价方法与案例精选[M].北京:清华大学出版社,2008.