MMF曲线拟合模型在固结系数计算中的应用

戴 韬

0 引言

固结系数是反映土层固结特性的参数,在基础沉降计算中具有十分重要的意义。目前由室内固结试验确定固结系数的方法中,应用最广泛的是时间平方根法和时间对数法[1],这两种方法均属作图法,人为因素对于固结系数的计算影响较大。此后,国内外许多学者提出了一些新的图解法:试算法[1]、反弯点法[2]、司各脱法[3]以及标准曲线比拟法[4]等,但均无法回避图解法缺点和求解不便。近期国内外学者通过对地基土体固结过程的研究,提出了一些新的方法,如包太[5]等提出的计算固结系数的最小二乘法、李涛[6]等提出的计算固结系数的剩余沉降对数法、张勇[7]等提出的计算固结系数的固结速率半对数法以及张仪萍[8]等提出的计算固结系数的方法等。其中,文献[8]从太沙基固结理论出发,推导出了主固结沉降量与沉降速率之间的关系,且该关系为线性关系。利用这一关系计算固结系数非常简便和实用,但文献在确定各时刻的沉降速率时采用差商法,按式(1)计算:

显然,按上式计算固结沉降速率即利用沉降曲线上某一段的割线斜率表示起点的切线斜率,也即用某一段时间的平均沉降速率代替起始点的沉降速率,误差相对比较大。尤其当Δt越大时,其误差也越大。

为了弥补这一方法的不足,本文采用沉降曲线拟合法来确定各时刻的沉降速率,进而按照文献[8]提出的方法计算固结系数,并将计算结果与文献的计算结果进行了对比。结果表明:用本文方法计算沉降速率,所得到的固结系数与文献[8]相比,计算精度大大提高。

1 沉降量与沉降速率关系的推导[8]

土层固结度Ut的计算式为[1]:

其中,Cv为固结系数;t为时间;H为排水距离;m为奇数正整数。

由于上式级数收敛很快,当地基土层的固结度 Ut＞30%时,可近似取第一项,即:

其中,St为土层某时刻的固结沉降;S为土层最终的固结沉降。

在某级试验荷载下,β和S可以认为是常数。将式(5)对时间求导,有:

上式即为沉降速率的表达式。联立式(5)和式(6)可得固结沉降量与沉降速率之间的关系式为:

显然,式(7)中固结沉降量与沉降速率之间为线性关系,利用这一关系可以很方便的求解出固结系数Cv。

-β为直线段斜率,则固结系数表达式为:

因此,只要能够准确的确定各时刻的沉降速率,即可得到β,进而得到固结系数 Cv。

2 沉降速率的确定方法

文献[8]按照式(1)确定各时刻的沉降速率,显然此种方法误差相对比较大。尤其当Δt越大时,其误差也越大。因此,本文采用MMF曲线拟合模型来拟合固结沉降量与时间之间的关系。一旦确定了固结沉降量与时间之间的关系,则很容易求得各时刻的沉降速率。

MMF曲线拟合模型的表达式为:

只要拟合值与实测数据之间的误差足够小,相关性足够高,就可以用上式来描述土体沉降量与时间之间的变化规律,即:

其中,a,b,c,d均为模型参数。

则土体t时刻的沉降速率为:

利用式(11)即可计算出土体任意时刻的沉降速率,将各时刻的沉降速率与沉降量代入式(7)即可求出土体的固结系数。

3 算例验证

算例[8]土样初始厚度为16.5 mm,经24 h后土样厚度为14.1 mm。试验数据如表1所示。

表1 算例1试验数据

根据表1中试验数据,采用MMF曲线模型对沉降曲线进行拟合。拟合沉降曲线表达式为:

线性相关系数为:r=0.999 9。

拟合沉降速率表达式为:

拟合曲线如图1所示。

由拟合曲线和误差分析可知:用MMF曲线拟合模型对其进行拟合,误差非常小,相关系数非常高,几乎达到1。因此,MMF曲线模型能够非常好的反映土体沉降与时间的关系,用式(13)得到的沉降速率非常接近土体固结沉降的真实速率。

由于固结系数在土体固结过程中并不是一个常数,而是不断变化的。因此,固结系数的最终计算结果还与所取数据所处的时间段有关。取不同时间段的数据进行计算,所得到的固结系数也会有所不同。文献[8]取540 s～2 160 s之间的数据计算固结系数,为了对比用式(11)计算沉降速率与用式(1)计算沉降速率对所得固结系数的影响,本文亦取540 s～2 160 s之间的数据计算固结系数。这样可以避开其他因素的影响。

将表1中540 s～2 160 s之间的数据代入到式(13)计算各时刻的沉降速率。计算结果如表2所示。

表2 各时刻计算沉降速率表

将表2中各相关数据代入式(7),可得如图2所示的曲线图,其直线段斜率为β。

则直线段斜率β=0.001。线性相关系数 R=0.989 7,故沉降量与沉降速率之间具有较高的相关性。

土样初始厚度为1.65 cm,在第 540 s时的厚度为 1.55 cm,在第2 160 s时厚度为1.481 cm,在此期间平均厚度为1.516 cm,则排水距离H=0.757 8 cm。

将 H=0.757 8 cm,β=0.001代入式(8),可得到固结系数Cv=2.33×10-4cm2/s。文献[8]按照式(1)计算各时刻的沉降速率,计算得到的固结系数 Cv=1.722×10-4cm2/s。

由此可以看出,用相同的方法计算固结系数,只是确定各时刻沉降速率的方法不同,导致最终计算的固结系数具有较大的差别,误差高达35%。因此,采用本文方法计算固结沉降速率,可使得最终得到的固结系数准确度得到大大提高。

4 结语

本文通过用MMF曲线拟合模型对地基土体固结过程中土体固结沉降量与固结时间之间的关系进行拟合,得到了各时刻比较准确的固结沉降速率,进而采用文献[8]推导得到的速率法计算了土体的固结系数,并与文献计算结果进行了对比。结果表明:采用本文方法计算固结沉降速率,可使得最终得到的固结系数准确度大大提高。因此,本文计算固结沉降速率的方法对采用速率法计算固结系数的方法具有一定的应用价值。

[1] 钱家欢,殷宗泽.土工原理与计算[M].第2版.北京:水利水电出版社,1996.

[2] Cour F R.Inflection point method for computing Cv[J].Journal Soil Mechanics Foundation Engineering,ASCE,1971(1):827-831.

[3] Scott R E.New method of consolidation coefficient evaluation[J].ASCE,1976(1):29-39.

[4] 李金轩,胡金珠.确定固结系数的标准曲线比拟法[J].工程勘察,1996(1):21-22.

[5] 包 太,刘新荣,朱 凡,等.固结系数的最小二乘法计算[J].岩土工程学报,2005,27(10):1230-1232.

[6] 李 涛,张仪萍,曹国强,等.推算室内固结系数的剩余沉降对数法[J].岩土工程学报,2003,25(6):724-726.

[7] 张 勇,孔令伟,白 冰,等.确定固结系数的固结速率半对数法[J].岩土力学,2007,28(2):355-358.

[8] 张仪萍,俞亚南,张土乔,等.室内固结系数的一种推算方法[J].岩土工程学报,2002,24(5):616-618.