平面并联机构的自适应控制方法研究

敖银辉

广东工业大学,广州,510090

0 引言

与串联机构类似,并联机构的位置控制可分为开环和闭环控制。开环控制一般是根据末端执行器的轨迹要求基于机构的运动学分析得到主动铰需输出的位置,该方法简单易用,但其精度难以保证[1]。因此对并联机构,通常采用基于位置和速度反馈的闭环控制方法,其中基于关节的反馈误差进行简单PID调节的独立关节控制方法,不需要针对具体的控制对象,计算比较简单,但控制精度不高、适应性差、抗干扰能力不强[2],因此有必要研究以动力学模型为基础的、可不断调节模型参数的自适应控制方法,这也是并联机构研究的一个关键问题[3]。由于并联机构动力学建模时难以获得以主动铰为变量显式表达的动力学方程,故只能在任务空间里实施动力学控制,常需要进行正向运动学求解,但是并联机构的前向运动学求解困难,对冗余链并联机构尤其如此。文献[4]采用了简化的动力学模型控制冗余驱动的并联机构。文献[5]提出了基于最小跟踪误差的自适应控制器,使用了由Slotin和Li提出的前馈控制结构的自适应控制器,但是需要利用实际的铰坐标速度来计算逆动力学模型,而文献[5-6]中的自适应控制结构是基于串联机构的,没有考虑到并联机构的特点。在文献[4]基础上,本文提出一种基于计算力矩结构的自适应控制器,该控制方法同时具有前馈控制的特点,不需要在线计算逆动力学问题,另外算法考虑到并联机构正向运动学的求解难题,对反馈补偿项进行了修正,以回避求解正向运动学问题。

1 平面并联机构的动力学模型

图1所示的平面并联机构可视为由两条支链所构成,两条支链分别由杆件 li、ri(i=1,2)组成。其中点C(x,y)为此机构的末端执行器安装位置。该机构自由度为2,因此在固定位置安装2个驱动电机(图1中A1、A2),B1、B2关节是被动铰链。将机构从铰链C处断开,形成两条完全相同的两杆串联机构 。定义 ：θi=(ai,bi)T,τi=(τAi,τBi)T,i=1,2,τi是关节 Ai、Bi处的力矩矢量 ,因此可使用拉格朗日方程对两条相同的串联支链建立动力学方程：

图1 并联机构

式中,Mi、Ci、Ni分别为相应串联支链对应的质量矩阵、阻尼系数矩阵和与重量有关的矩阵。

根据变分原理,所有约束力与对应变分的乘积之和为零,即

此方程中存在未知的被动关节变量b1、b2,不便于实施控制,因此可转换到任务空间q e=(x,y)T内,表示为

式中,Ji(i=1,2)为支链的铰坐标θi到任务坐标qe的雅可比矩阵,(Ji)-T表示Ji逆矩阵的转置;τa为主动力矩矢量,τa=(τa1,τa2)T。

如对图2所示的冗余链并联机构进行动力学建模,只需将三条支链的动力学方程用变分原理复合起来即得：

J-Tv的任务是将主动铰空间q a=(a1,a2,a3)T的力矩输入变换到任务空间内的力输入F=(Fx,Fy)T。仿照串联机构的映射关系,可以将J v定义为冗余链并联机构的雅可比矩阵。

图2 冗余并联机构

2 自适应控制

式(1)中的质量阵M、阻尼阵C等包含大量的未知参数。这些参数与机构的尺寸、摩擦等相关。有些参数可以通过实际测量、计算或系统辨识得到,但其与实际值之间存在误差,由此确定的驱动力矩与实际需要不符,将产生跟踪误差。自适应控制器能实时生成驱动力矩,并根据误差对系统未知参数进行在线更新,从而使初始系统参数不断接近其实际值而达到减小误差的目的。

式(1)可改写成关于参数P的线性函数：

式中,P为机构的基本动力学参数;φ为与基本动力学参数相对应的回归矩阵。

根据计算力矩结构的自适应控制方法对式(2)实施如下的力矩：

将式(5)与式(8)相加得主动驱动力矩矢量：

参数矢量P的自适应修正律按基于最小跟踪误差的自适应方法得到：

式中,η为一个由学习因子构成的正定矩阵。

式(9)和式(10)即为冗余驱动并联机构的基于逆动力学模型的控制律及参数自适应律。P的初始值通过测量机构参数得到。对于给定的末端执行器的期望目标,计算其逆运动学问题可得到期望的驱动空间的铰链值,进一步得到)P及M′,此过程不需要驱动铰的实际值,也无需计算正向运动学问题。反馈加速度项则由式(7)通过比较理想的与实际的铰链位置及速度后进行PD调节得到。将由式(9)计算得到的力矩输出到三个主动电机的驱动器上,同时对参数 P按照式(10)进行更新。

基于逆动力学模型的自适应控制系统结构如图3所示。

图3 并联机构自适应控制框图

3 算法的稳定性分析

将式(9)代入动力学方程式(1),并注意到本例中的N=0,则有

定义控制误差e=qed-qe,则有

整理后得

对图2的冗余并联机构的建模过程分析可知,矩阵M、C均为正定矩阵,因此只要选择的反馈控制系数K P、K D均为正定矩阵,就可使得式(13)只有零解,即e→0。因此图3所实施的自适应控制算法可保证并联机构的位置跟踪误差趋于零。

4 实验结果分析

实验装置分为控制平台、电控制箱、机械本体三部分。控制平台包括PC机、插在PC机PCI插槽上的GT-400四轴运动控制器。电控制箱主要包含电源和信号转接板、电动机驱动器等。机械本体包括交流伺服电动机、谐波齿轮减速器、冗余并联机构本体(图4)。

图4 并联机构本体照片

我们分别用传统的PID方法、PID参数可在线调整的模糊PID方法[7],以及本文的自适应控制算法对并联机构进行控制,使末端点沿直线轨迹运动,如图5所示。图6和7显示了自适应控制跟踪误差与PID和模糊PID算法的对比效果,表1具体比较了三种控制方法的误差。其中PID控制下的x向误差方差为0.0086mm2,而自适应控制的x向误差方差与模糊PID类似,只有PID方法的1/5。

图5 实验时用的位移跟踪曲线

图6 PID控制与自适应控制时的误差比较

表1 各种控制策略误差对比 mm2

图7 模糊PID控制与自适应控制的误差比较

5 结束语

针对一个并联机构动力学模型的特点,本文提出一个基于计算力矩结构的自适应控制器,该控制方法不需要在线计算逆动力学问题。考虑到并联机构正向运动学的求解难题,对反馈补偿项进行了修正,可回避正向运动学问题。与PID及参数可调的模糊PID算法的对比实验结果表明：本文提出的改进自适应控制方法可获得更好的跟踪效果和适应能力。

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