基于载荷-强度干涉模型的零件可靠性分析

高 鹏 谢里阳

东北大学,沈阳,110004

0 引言

可靠性是贯穿于产品全生命周期内用以衡量产品质量的重要指标,包含于产品的规划、设计、制造、试验、管理以及维修的各个环节中。零件作为机械产品的重要组成部分,其可靠性的正确评估对于产品的安全运行具有重大的实际意义。

载荷-强度干涉模型是分析机械零部件可靠性的重要手段。在载荷和强度已知的条件下,可以利用载荷-强度干涉模型通过积分来计算零件强度大于载荷的概率。但是传统的载荷-强度干涉模型往往只考虑载荷作用一次时零件的可靠度,忽略了载荷作用次数对可靠度计算的影响[1-5]。文献[6]分析了考虑载荷作用次数的零件可靠度分析方法,较好地分析了载荷作用次数对零件和系统可靠性的影响,但建立的模型实际上将强度看作随机变量,认为载荷作用过程中强度不退化。文献[7]分析了零件强度的退化规律。文献[8]将载荷和强度这两个因素相结合,考虑了强度随载荷作用次数的退化规律,更加符合零部件的实际工作状态,但所建立的模型没有考虑载荷的随机性及其对强度退化过程的影响,不能用于随机载荷下的零件可靠度分析。

此外,上述文献中提出的模型只适用于零件承受一种载荷的分析,且没有考虑载荷出现次数的随机性。实际上,机械零部件除了承受正常的工作载荷以外,还会受到外界环境产生的随机载荷的作用。当外界载荷的出现次数与工作载荷的出现次数都是随机的,且载荷不同时出现时,则要考虑载荷次数与时间的关系,分析零件可靠度与时间的关系。

因此,本文考虑随机载荷对于强度退化的影响,提出考虑随机载荷作用次数以及强度随着载荷作用次数增加而逐渐退化时的可靠度计算模型,该模型反映了考虑强度退化时零件可靠度与随机载荷作用次数的关系;在此基础上,通过分析不同载荷的出现次数与时间的关系,得到多个载荷共同作用下可靠度随时间的变化规律。

1 考虑强度退化时可靠度与载荷作用次数的关系

1.1 载荷-强度干涉模型理论

载荷-强度干涉模型被广泛应用于机械零件的可靠度分析,其基本思想是计算强度大于载荷的概率。这里的载荷和强度是广义的,载荷可以是应力、温度、腐蚀、载荷的作用次数等,强度可以是疲劳强度、抗热性、抗腐蚀性、零件的失效循环数等。

如图1所示,阴影部分表示载荷和强度的干涉区。零件承受的载荷为s,强度为 r,f s(s)、f r(r)分别为载荷和强度的概率密度函数。假设载荷和强度是相互独立的两个随机变量,用F r(◦)表示强度的分布函数,则载荷-强度干涉模型可表示为

1.2 考虑强度退化时可靠度与载荷作用次数的关系

载荷大小的不同会对零件造成不同程度的损伤,同时强度也在载荷的多次作用下不断退化,如图2所示。零件承受不同大小的载荷时,其退化规律是不相同的。例如,在零件第一次承受的载荷分别为s1、s2两种情况下,如果s1远大于s2,它们对零件造成的损伤是不同的。那么当载荷作用第二次时,载荷-强度干涉模型中的强度应该使用不同的概率密度函数来描述。在指定的载荷作用次数内,随机载荷每次出现的大小可能都不相同,所以在整个作用过程中,每次使用干涉模型进行计算时强度的概率密度函数是无法确定的。也就是说随机载荷作用多次时,无法对零件强度退化的统计特性进行描述,或者说需要做大量的实验进行统计分析,这在现实中是无法实现的。因此,本文提出随机载荷作用下,考虑强度随载荷作用次数增加而逐渐退化的可靠度计算模型来近似说明零件可靠度随载荷作用次数的变化规律。

用f si(si),f ri(r i)分别表示第i次作用时载荷和强度的概率密度函数,用R(n)表示零件总共承受n次载荷作用而不发生失效的概率,Ri表示载荷作用第i次时零件不发生失效的概率。假设零件的初始可靠度为R 0,则随机载荷作用了n次(n≥1)后的可靠度为

前面已经分析,在随机载荷作用下,统计零件强度随载荷次数的变化规律是非常困难的。为了使式(2)更加便于工程应用,提出以下近似可靠性分析模型：

对于载荷 si,其取确定值 s0的概率为f si(s0)d s0,根据线性损伤等效原理,s0作用一次造成的损伤为1/Ns0(Ns0为s0作用下的零件使用寿命)。又由零件的S-N曲线,得到Ns0sm0=C(C为材料常数),所以1/Ns0=sm0/C。因此,随机载荷si作用一次造成的损伤Q的期望值为

令E(Q)等价为载荷sqi作用一次所造成的损伤,则

称sqi为损伤等效载荷。考虑强度退化及载荷作用次数时可靠度的计算方法如下：第一次载荷作用时,载荷与初始强度进行干涉,计算出作用一次的可靠度,计算损伤等效载荷sq1;第二次载荷作用时,强度的概率密度函数为确定的损伤等效载荷sq1作用一次后的概率密度函数,与载荷进行干涉,得到第二次载荷作用时的可靠度,并计算损伤等效载荷sq2;第三次强度的概率密度函数为确定载荷sq1、sq2依次作用后的概率密度函数;依此类推,最后将每次计算得到的可靠度相乘,则得到指定载荷作用次数下零件可靠度。

用f ri(ri|sq1,sq2,…,sqi-1)表示确定性的等效载荷sq1,sq2,…,sqi-1依次作用后零件强度的概率密度函数,则

在实际工程中,为方便计算,往往对零件所承受的载荷用各态历经随机过程来描述。这类随机载荷的特点是载荷母体的概率分布与绝对时间无关,可以通过对子样的观察来估计载荷母体的统计特征。因此,为了方便工程应用,本文假设载荷具有以上的统计特性,并用 f s(s)表示载荷的概率密度函数,强度概率密度函数遵循由 f s(s)确定的载荷sq作用下的变化规律,从而能够方便地近似计算零件可靠度随载荷作用次数变化的规律。这样,式(5)可以写成

其中,f ri(ri|sq)为确定载荷sq作用下零件承受第i次载荷时的强度概率密度函数,通过实验确定它的变化规律是易于实现的,从而使得该方法更适合工程应用。

此外,由于式(6)考虑了强度退化现象,因此该模型更适合于机械零件在进入偶然失效期之后的分析。在早期失效期内,零件强度退化不是十分明显,也即可以假设零件强度不退化。这时,零件可靠度随载荷作用次数的变化规律为文献[6]提出的数学模型：

假设载荷服从N(300,202)MPa的正态分布,零件强度也服从正态分布,标准差为20MPa,均值按照线性规律退化：

r(n)=400(1-0.000 015n)MPa

可靠度随载荷作用次数的变化规律如图3所示,可以看出,当考虑强度退化时,零件可靠度下降较快。如果假设强度不退化,则过高地估计了零件可靠度。因此,使用考虑强度退化及载荷作用次数的可靠度计算模型来进行计算,可以方便地估计可靠性的变化规律,使计算结果更接近于实际情况。

图3 可靠度随载荷作用次数变化曲线

2 零件可靠度随时间变化计算模型

以上分析了零件可靠度对载荷作用次数的变化规律。当载荷出现次数可以用时间来描述时,还可以得到可靠度随时间的变化规律。当考虑零件出现次数的随机性时,零件的时变可靠度分析将变得复杂,特别是当零件承受多个载荷且载荷不同时出现时。本文仅考虑零件处于早期失效期时可靠度随时间变化的规律,也即认为零件强度不变或者变化较小。对于零件进入偶然失效期之后,考虑强度退化规律的可靠度分析模型将另文论述。如果载荷出现的次数满足以下条件：

(1)当t=0时,n(0)=0。

(2)在互不重叠的时间段内载荷出现的次数相互独立。

(3)在时刻t和足够小的时间段Δt＞0,有

则时间t内出现n次载荷的概率为

也即将载荷出现的次数看作是强度为λ(t)的泊松过程。

2.1 零件承受一个或者同时承受多个载荷时的可靠度分析

机械零部件除了承受正常的工作载荷外,还会受到外界环境产生的随机载荷的作用,这时零件可能同时承受多个载荷。当载荷同时出现时,可以进行载荷合成,计算出总载荷的概率密度函数,从而计算出多个载荷共同作用时零件的可靠度,其计算方法与零件承受一个载荷时相同。如果零件承受一个随机载荷,且将载荷出现的次数看作是强度为λ(t)的泊松过程,假设时间t内载荷不作用,零件的可靠度为1,文献[9]给出零件的可靠度计算公式：

式中,Fs(r)为载荷的分布函数。

2.2 零件承受连续载荷和冲击载荷时的可靠度分析

以上分析了单个载荷或者多个载荷同时作用时零件可靠度随时间的变化规律。但是,如果载荷不总是同时出现,则不能简单对载荷进行合成,并按照一个载荷作用下的可靠度模型进行计算,而需要根据载荷出现次数与时间的关系,进一步分析可靠度随时间的变化规律。

零件在正常工作时可能会受到外界环境中一些偶然因素造成的冲击载荷,因此稳定载荷与冲击载荷的叠加是比较常见的情况。当零件承受载荷S1是平稳载荷,S2是冲击载荷,两个载荷同时出现时的总载荷为S=S1+S2时,假设S1出现次数是强度为λ(t)的泊松过程,并假设单位时间内S1的平均出现次数远大于S2的平均出现次数。令时间t内载荷S1出现的次数为n1=tf 1(f 1为S1单位时间内出现的次数),S2在时间t内出现的载荷次数n2服从泊松过程,则零件的可靠度计算公式为

2.3 多个载荷不同时出现时的可靠度分析

对于更一般的情况,当零件承受多个载荷的作用且载荷不同时出现时,假设载荷出现次数是泊松过程。首先考虑零件承受两个载荷的情况,载荷大小为S1、S2,总载荷为S=S1+S2。在时刻t,零件分别承受载荷S1、S2、S而不发生失效的概率为

如果S1、S2出现次数相互独立,两个泊松过程的强度分别为 λ1(t)、λ2(t),则

当Δt→0,得到微分方程

初始条件为R(0)=1,对微分方程求解得

显然,在求解方程式(10)的过程中会略去高阶无穷小项,认为Δt内两个载荷同时出现是小概率事件,可靠度计算结果偏高。

得到λ1(t)、λ2(t)的数值有时比较困难。为了工程应用方便,可以使用 λ1(t)、λ2(t)的平均值来进行可靠度计算,也就是说将 λ1(t)、λ2(t)取均值并作为常数来计算。由泊松过程的性质知,泊松强度λ=E(N(t)/t)。假设总的统计时间为T,将其划分为u个时间段T 1,T2,…,Tu,即 T=T1+T2+…+Tu。在每个时间段内分别测量w i(i=1,2,…,u)次载荷出现的次数Nij(i=1,2,…,u;j=1,2,…,wi),计算：

并将λ作为时间T内泊松流强度均值的估计值,利用式(10)就可以求得零件可靠度在不同时刻的数值。

为了考虑载荷同时出现对可靠度的影响,特别是载荷同时出现的概率比较大时,假设分别只有S1、S2作用过程的强度为λS1(t)、λS2(t),S作用过程的强度为λ12(t)。于是可以得到：

当Δt→0,得到微分方程

初始条件不变,解得

按照式(12)、式(13),得到 λS1(t)、λS2(t)、λ12(t)的平均强度为λ1、λ2、λ12,利用式(14)可以近似求解零件可靠度。当零件承受两个以上载荷时,可以使用同样的方法得到可靠度随时间的变化规律。

3 结论

传统的载荷-强度干涉模型只用于分析静态的载荷作用一次时零件的可靠度,而实际上零件往往承受载荷的多次作用,并且强度会在载荷的作用下不断退化。算例表明,强度退化会导致可靠度随着载荷作用次数的增加快速下降,因此强度不退化模型会导致可靠度的过高估计,考虑强度退化和载荷作用次数的可靠度计算模型能够近似计算可靠度与载荷作用次数的关系,便于工程应用。此外,载荷作用次数的随机性会增加可靠度估计的难度,特别是当零件承受多个载荷且不同载荷出现的次数也呈现出不同的统计特性时。因此,考虑不同载荷出现次数与时间的关系才可以得到可靠度与时间的关系。研究表明,当载荷过程为泊松过程且多个载荷出现次数相互独立时,可以通过求解微分方程对可靠度进行计算。但是如果载荷同时出现的概率较大,上述方法则会高估零件的可靠度。针对这个问题,本文提出了适合工程应用的可靠度估计方法,较好地反映出零件可靠度随时间的变化规律。

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