函数组的广义线性相关性
2010-05-29杨建华柳翠华
杨建华,柳翠华
(1.武汉工程大学理学院,湖北 武汉 430074;2.武汉工程大学智能机器人湖北省重点实验室,湖北 武汉 430074)
文献[1]给出了数列组的齐次线性相关性,文献[2~5]给出了函数组的线性相关性,但其具有很大的局限性,例如函数组A:f(x)=x,g(x)=2x+1,显然有很强的线性相依关系,但此函数组不是线性相关的.为此,有必要将函数组线性相关的概念加以延伸,使之具有更广泛的适应性.本文借用文献[2]中数列组的广义线性相关性的概念,提出了函数组的广义线性相关性.
1 定 义
定义1定义在区间I上的n个函数y1(x),y2(x),…,yn(x)称为一个函数组.
定义2给定函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x),对任何一组实数k1,k2,…,kn称
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)
为函数组A的一个线性组合;称
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a(a为常数)
为函数组A的一个广义线性组合,其中k1,k2,…,kn称为这个线性组合的系数.当a=0时,称为齐次线性组合;当a≠0时,称为非齐次线性组合.
定义3如果函数y(x)为函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)的一个广义线性组合,即存在一组实数k1,k2,…,km,以及常数a,使得
y(x)=k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a
则称函数y(x)可以由函数组A广义线性表出(或广义线性表示).当a=0时,称函数y(x)可以由函数组A齐次线性表出(或齐次线性表示);当a≠0时,称函数y(x)可以由函数组A非齐次线性表出(或非齐次线性表示).
定义4[3-5]设A:y1(x),y2(x),…,yn(x)为一定义在区间I上的函数组,如果存在n个不全为零的数k1,k2,…,kn,使得当x∈I时有恒等式
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0
成立,那么称函数组A在区间I上线性相关;否则称线性无关.
定义5设A:y1(x),y2(x),…,yn(x)为一定义在区间I上的函数组,如果存在一组不全为零的实数k1,k2,…,kn,以及常数a,使得
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0
则称函数组A在区间I上广义线性相关,当a=0时,称函数组A齐次线性相关;当a≠0时,称函数组A非齐次线性相关;否则称函数组A广义线性无关.
显然,(1)如果函数组A中含有常数函数C,则函数组A一定广义线性相关.
(2)函数组A广义线性无关的充分必要条件为:对任意常数a,如果存在一组数k1,k2,…,kn,使得
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0
则k1,k2,…,kn一定全为零,即k1=k2=…kn=0.
进而有函数组A广义线性无关的充分必要条件为:如果存在一组数k1,k2,…,kn,使得
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0
则k1,k2,…,km一定全为零,即k1=k2=…=kn=0.因此有
(3)广义线性无关的函数组一定齐次线性无关.
(4)齐次线性相关的函数组一定广义线性相关.
定义6如果函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)中,存在r(0≤r≤n)个函数yi1(x),yi2(x),…,yir(x)(称为A的子函数组)满足:
(1)yi1(x),yi2(x),…,yir(x)广义线性无关;
(2)函数组A中的任何一个函数都可以由yi1(x),yi2(x),…,yir(x)广义线性表出,则称这r个函数所构成的函数组yi1(x),yi2(x),…,yir(x)为函数组A的一个广义极大线性无关组,其中r称为函数组A的秩,记作R(A),即R(A)=r.
定义7设A:y1(x),y2(x),…,yn(x),B:z1(x),z2(x),…,zm(x)为两个函数组,如果函数组B中的任一函数都可以由函数组A广义线性表出,则称函数组B可以由函数组A广义线性表出.
定义8设A:y1(x),y2(x),…,yn(x),B:z1(x),z2(x),…,zm(x)为两个函数组,如果函数组A与B可以相互广义线性表出,则称函数组A与B广义等价.
2 定 理
定理1函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性相关的充分必要条件为函数组A中至少有一个函数可以由其余的函数所构成的函数组广义线性表出.
证明(充分性)如果函数组A中有某个函数,比如yn(x)可以由其余的函数广义线性表出
yn(x)=k1y1(x)+k2y2(x)+…
+kn-1yn-1(x)+a
则
k1y1(x)+k2y2(x)+…+
kn-1yn-1(x)-yn(x)+a≡0
即函数组A广义线性相关.
(必要性)如果函数组A广义线性相关,则存在一组不全为零的数k1,k2,…,km,不妨设km≠0,以及常数a,使得
k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0
则
…+kn-1yn-1(x)+a)
即函数yn(x)可以由其余的函数y1(x),y2(x),…,yn-1(x)广义线性表出.
定理2函数组A:y1(x),y2(x),yn(x)广义线性相关的充分必要条件为函数组A的秩小于,即R(A) 证明充分性显然,下证必要性. 设函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性相关,即存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn,不妨设kn≠0,以及常数a使得 k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0 则 …+kn-1yn-1(x)+a) 即函数yn(x)可以由其余的函数y1(x),y2(x),…,yn-1(x)广义线性表出.而其余的函数当然可以由其自身广义线性表出,因此,由定义函数组A的秩R(A) 推论函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性无关的充分必要条件为它的秩R(A)=n. 定理3函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)与其任一个广义极大线性无关组等价. 证明不妨设A0:y1(x),y2(x),…,yr(x)为其一个广义极大线性无关组,显然,函数组A0可以由函数组A广义线性表出,反过来,由定义6可知,函数组A可以由A0广义线性表出,所以A与A0广义等价,即函数组A与其一个广义极大线性无关组等价. 定理4函数组B:z1(x),z2(x),…,zm(x)可以由函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)线性表出的充分必要条件是A的秩等于由A组和B组所构成的新的函数组C:y1(x),y2(x),…,yn(x),z1(x),z2(x),…,zm(x)的秩,即R(A)=R(C)=R(A,B). 证明设A0:yi1(x),yi2(x),…,yir(x)为函数组A的一个广义极大线性无关组. 充分性:由R(A)=R(C)=R(A,B)知,A0也为C的一个广义极大线性无关组,所以,C中的任一函数都可以由A0广义线性表出,由此可知函数组B中的任一函数都可以由A0广义线性表出,进而可以由函数组A广义线性表出. 必要性:设函数组B可以由函数组A广义线性表出,而函数组A可以由A0广义线性表出,因此函数组C可以由A0广义线性表出,所以,A0为函数组C的一个广义极大线性无关组,所以C的秩等于函数组A的秩,即R(A)=R(C)=R(A,B). 定理5如果函数组B:z1(x),z2(x),…,zm(x)可以由函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性表出,则函数组B的秩不超过函数组A的秩,即R(B)≤R(A). 证明由定理4有R(A)=R(A,B),而R(B)≤R(A,B),所以R(B)≤R(A). 定理6如果函数组A与函数组B广义等价,则A的秩等于B的秩,即R(A)=R(B). 证明由定理5及函数组广义等价的定义即知结论成立. 定理7如果函数y1(x),y2(x)广义线性相关,且系数都不为零,即存在全不为零的实数k1,k2使得k1y1(x)+k2y2(x)+a≡0,则y1(x),y2(x)的极限同时存在或者同时不存在. 证明由极限的运算性质即得. 定理8如果函数组A广义线性相关,且A中的任一函数的极限存在,则它的任一广义线性组合的极限也存在,且等于极限的相同广义线性组合. 证明由定义5及极限的运算性质即得. 证明因为函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性相关,所以存在一组不全为零的数k1,k2,…,km,以及常数a,使得 k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0 因此 有非零解,故系数行列式 例1函数组A:x,2x,3x+1广义线性相关,函数x为A一个广义极大线性无关组,同样函数x和3x+1也分别都是A的广义极大线性无关组. 例2证明函数组A:x,x2广义线性无关. 证明如果存在一组数k1,k2,以及常数a使得 k1x+k2x+a=0 则分别取x=1,x=2,x=3,得方程组 其只有零解,k1=k2=0,(a=0),所以函数组A广义线性无关. 当x→∞时也收敛,且有极限0k1+1k2+a=k1+a. 当x→∞时有极限为0. 参考文献: [1]杨建华.数列组的齐次线性相关性[J].武汉工程大学学报,2009,31(9):84-85,88. [2]杨建华.数列组的广义线性相关性[J].武汉工程大学学报,2009,31(12):79-81, [3]叶彦谦.常微分方程讲义[M].北京:人民教育出版社,1981:140, [4]中山大学数学力学系常微分方程组.常微分方程[M].北京:人民教育出版社,1979:92. [5]同济大学应用数学系.高等数学第五版 (下册)[M].北京:高等教育出版社,2002:296.3 例 题