有限元—无限元耦合分析软弱层桩基沉降与变形

谢德霞 马艳娟

0 引言

在实际工程中,经常会有地基为深厚软弱土层的情况,此时远场土体的位移—荷载反应对结构体的影响往往不能忽视。在理论计算中,常把这类问题简化为半无限体,如果全部用有限元模拟,需要取庞大的计算范围,如此将花费大量计算时间,繁琐的计算过程还不一定能够保证相对合理的计算结果。若远场土体采用无限元,则会节约大量计算量,并且使计算结果更加具有合理性。

1 无限域的模拟

无限元是根据半无限体受集中荷载作用的弹性力学解答思想演变而来的,它其实是有限元法思想在无限域问题上的延伸[1]。根据半无限体上受集中荷载的弹性力学解答可知:当r→∞时,u→0;当r→0时,u→∞,其中,r为半无限体内某一点到集中荷载的极半径;u为位移值。因此可以构造包含1/r或1/r2项的映射函数。设位移函数为 u(ζ),-1≤ζ≤1,其中,ζ为无限元的每一边上的点的极半径的映射值,当有ζ→1时,r→∞成立。如图1所示的一维无限元,对于每一条延伸向无限域的边,可以构造形如下式的映射函数:

其中,Ni(ζ)为无限元的形函数。

由式(1)很容易验证当ζ取-1,0,1时,r分别等于r1,r2,∞。相应的位移函数可以写为:

其中,Mi(ζ)为位移函数,称为位移衰减函数。

同理,可以构造出二维和三维情况下的无限元形函数形式。构造无限元时,至少要满足以下3个条件:

1)局部坐标系中的有限域到整体坐标系中的无限域映射,当某个方向局部坐标趋于1时,相应的整体坐标趋于无穷大,从而实现计算范围伸向无穷远点,其映射函数还应满足下面的条件:

2)无限域上位移衰减过程的描述,当某个方向局部坐标趋于1时,该方向位移趋于0,从而实现无限远处位移为0的边界条件。

3)为了和有限元耦合使用,应始终保持从有限元过渡到无限元时界面上的连续性。对于有 n个节点的单元,其坐标变换式为:

如图2a)所示的二维4节点单元,可以构造映射函数如下:

取位移衰减函数为(1-ζ)2,对于4节点无限元,可构造形函数如下:

单元位移插值函数为:

因为位移和应变的微分关系式是用整体坐标表示的,而式(6)只给出了局部坐标下位移插值函数,在进行整体分析时必须转换为整体坐标下的形式。根据式(6)可得:

其中,[J]为Jacobi矩阵,由式(4)～式(8)得:

以上构造出了平面4节点无限元的插值函数形式,对于5节点无限元,可以根据同样的方法构造出相应的坐标映射函数和位移转换函数。在进行结构离散化时,无限元区域通常距荷载作用处较远,其与有限元连接的边上用线性插值函数的误差不大,所以为简单起见,对于5节点无限元可以假定N5=0。联合式(4),式(7),即可采用有限元的程序模式且假定无限元区域内的材料是线弹性,求解半无限体问题。

2 有限元模型的建立

某水泥有限责任公司低温余热发电工程窑头余热锅炉结构,布置在平面上呈长条形,长为26.4 m,宽为4.5 m,高约30m;底部结构为钢筋混凝土框架,上部结构为钢框架;基础为挖孔灌注桩基础,管径(D=1000mm),桩长约14 m,桩端位于力学性质相对较好的⑦层圆砾层中。整栋房屋共有12根挖孔灌注桩。

建立上部结构、桩基础和地基共同作用分析的平面应变模型:土体、桩和承台采用平面8节点实体元,桩和承台与土体的接触面采用界面元模拟,各土层的摩擦系数采用相应土层的内摩擦角的正切值;上部框架结构采用梁单元,不考虑施工对桩侧与桩端的影响。由于该处软弱土层较厚,深部土层的沉降可能占结构的最终沉降的相当部分,故对远场区域的采用无限元与有限元的耦合分析方法。对土体采用修正剑桥模型;混凝土则假定完全在弹性范围内工作;模型的变形采用有限变形模式。

3 桩基沉降变形分析

比较桩端以下各水平面上的沉降曲线可以看出(见图3,图4),沿桩端向下,沉降值减小,桩端处有相当的刺入量。这就说明远场区域的沉降在本工程中占有很大的比重,反应了在深厚软弱地基上考虑远场影响的必要性;说明本次分析中采用无限元和有限元耦合分析的合理性。

左侧第一排桩轴线的水平位移见图5,从图5可以看出:桩身受到土体左方向的挤压而侧向变形,在桩顶由于受到承台的约束偏移量少一些,在-1.2～-9.5深度范围内,由于土体的变形模量较小,因此对桩的挤压大,桩的侧向变形较大,随着深度的增加偏移量减小,因此桩身的变形呈“弓”形[3]。

4 结语

本文以某水泥有限责任公司低温余热发电工程窑头余热锅炉结构为模型,用无限元模拟远场区域的反应,而用有限元模拟结构附近材料的受力特征,采用无限元与有限元边界耦合模型模拟深厚软弱地基基础的沉降和变形形态。

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