导数在制造业领域应用与数学建模

毛亚娟

MAO Ya-juan

（唐山职业技术学院基础部数学教研室，唐山 063004）

导数在制造业领域应用与数学建模

Derivative multi-domain application and mathematics modelling

毛亚娟

MAO Ya-juan

（唐山职业技术学院基础部数学教研室，唐山 063004）

导数的概念是微分学中的一个非常重要概念，它的应用很广泛，可以涉及到很多学科领域，它在很多领域中的应用，也正是它在各领域中的数学建模思想的体现，本文就是从导数在物理学方面的应用、导数在制造业方面的应用三方面来论述的。

导数；多重应用；数学建模

0 引言

导数本身是一个纯数学的概念，但在数学、物理学、工业等不同的领域，它的体现各有不同，然而实质相同。下面让我们来看一下导数的概念。

1 导数的概念

导数的定义是：设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处取得改变量∆x(∆x≠0)时，函数f(x)取得相应的改变量∆y=f(x0+∆x) - f(x0)，如果当∆x→0时，都有：

显然，当函数有不同的实际含义时，变化率的含义也不同，从而使“导数”在不同的领域及科学技术中有了广泛应用。

常见的变化率：

其实，导数定义并不难理解：就是因变量的改变量与自变量的改变量的比值的极限。在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数.但要认真深刻地理解导数的概念，我们还应该更进一步了解导数的实际应用。

我们在解决实际问题的时候，常常遇到求切线斜率、物体运动的速度、边际成本、城市人口的增长速度、国民经济发展速度、劳动生产率等。以上既涉及到几何知识，又涉及到物理知识和经济类知识。下面就导数在以上其中几个方面的实际应用加以说明。导数在数学几何方面的应用暂不叙述。下面从其它几方面来叙述导数的实际应用。

2 导数理学中路程相对时间的瞬时变化率----即时速度

在物理学上有两个非常重要的概念，即：匀速直线运动和变速直线运动。

一个物体在作匀速直线运动时，速度是不变的，即速度是所经过的路程与时间的比值，此速度相当于平均速度。

一个物体在作变速直线运动时，速度是不断变化的。这时我们常常需要知道物体在某个瞬时时刻的速度大小。而这个瞬时速度的求取就可以通过求导数的方法去求得：

所以，导数在物理学的路程、时间、速度中体现了路程相对时间的瞬时变化率。即此时可以把导数看作是物体运动过程中的某一时刻的即时速度。而这个即时速度就是路程与时间的关系式s=f(t)中t=t0时的导数. 由此数学中的“导数”在物理学“非匀速直线运动求即时速度”问题上构建了一个数学模型，即实现了“导数”在“非匀速直线运动求即时速度”问题上的数学建模.

有了上面的观点，再求物体即时速度，只须利用导数即可。

解：设物体下落时的即时速度为V，则：

所以t=10秒时的即时速度为：

这道题利用了物理学中的即时速度与数学中导数的相等的关系，巧妙地构建了一个数学模型，从而使复杂的问题简捷化。由此也可以看出，导数在物理学上的应用，正体现了数学在物理学领域中的数学建模。

3 物理学中电流强度是电荷Q对时间t的变化率

[电流模型]：设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t)，求t0时刻的电流。

解：如果是恒定电流，在∆t这段时间内通过导线横截面的电荷为∆Q，那么它的电流为

如果电流是非恒定电流，就不能直接用上面的公式求t0时刻的电流，此时

称为在t0这段时间内的平均电流。当|∆t|很小时，平均电流可以作为t0时刻电流的近似值，|∆t|越小近似程度越好。我们令∆t→0，平均电流的极限（如果极限存在）就称为时刻t0的电流i(t0)，即

从上式可知，求通过导线横截面的第t0时刻的电流就是求[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷函数式Q=Q(t)在t=t0时的导数，这一理念又是数学中“导数”的概念在电学知识中的数学建模.

例2：设在[0,8]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=t2+2t-1，求t0时刻的电流。

解：设t0时刻的电流为i(t0)，则i(t0)就是Q=t2+2t-1在t0=8时的导数Q'(t0)， 即：Q'(t0)=2t+2 ,则：

Q'(t0)=Q8=2×8+2=18

则：i(t0)=Q'(t0)=18，所以t0时刻的电流是18。

[细杆的线密度模型]：设一根质量非均匀的细杆放在x轴上，在[0,x]上的质量mx的函数m=m(x)，求杆上x0处的密度。

解：如果细杆质量分布是均匀的，长度为∆x的一段的质量为∆m，那么它的线密度为：

如果细杆是非均匀的，则不能直接用上面的公式求x0处的线密度设细杆[0,x0] 的质量m=mz(x0)，在[0,x0,∆x]的质量m=m(x0+∆x)，所以在 这段长度内，细杆的质量为：

上式说明，一根质量非均匀的细杆在杆上x0处的线密度就是在[0,x]上的质量m与x的函数m=m(x)在x=x0处的导数。所以数学中的“导数在“非均匀细杆的线密度”求解问题上又构建了一个数学模型，即体现了数学在细杆的线密度问题中的数学建模。

例3：设一根质量非均匀的细杆放在x轴上，在[0,12]上的质量m是x的函数m=x2+x，求杆上x0处的线密度。

解：设杆上x0处的线密度为ρ(x0)，则ρ(x0)就是m=x2+x在x=12时的导数m'(x0)；因为：

则：ρ(x0)=m'(x0)=25，所以杆上x0处的线密度是25。

这道题利用了细杆在某一点处的线密度与数学中导数相等的关系，巧妙地构建了一个数学模型，从而使复杂的问题转化为模式化的数学导数问题，简化了求解过程。由此可见，“导数”又在“非均匀细杆的线密度求解”问题上，显示了数学建模的威力。

5 结论

上边讲述的导数的几大类多重应用，看起来实际应用完全不同，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，即都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量趋于零时的极限。都是“导数”概念的体现。可见“导数”的概念在实际应用中渗透极广，内涵丰富，应用甚多；同时“导数”的多重应用，也提示我们要让学生学会用数学的眼光去分析、解决带有实际应用的问题，用数学的眼光去解决其它学科、生产和日常生活中相关的数学问题，从而使“数学建模”在各个学科中得到很好的应用。

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1009-0134(2010)10(下)-0218-03

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2009-11-05

毛亚娟（1967 -），女，辽宁葫芦岛人，副教授，本科，主要从事数学教学研究与数学应用。