基于最小柔度的连续体结构拓扑优化研究

胡桂川，刘敬花，刘成俊，李 亮

HU Gui-chuan, LIU Jing-hua, LIU Cheng-jun, LI Liang

（ 重庆科技学院 机械与动力工程学院，重庆 401331）

基于最小柔度的连续体结构拓扑优化研究

The study of continuum structure topology optimization based on min-compliant

胡桂川，刘敬花，刘成俊，李 亮

HU Gui-chuan, LIU Jing-hua, LIU Cheng-jun, LI Liang

（ 重庆科技学院 机械与动力工程学院，重庆 401331）

结构拓扑优化通过在设计域内最优布置材料获得优良性能的零件的一种优化设计方法，工程结构的优化目标复杂，设计域不规则并具有多种形式的优化约束，使单目标的拓扑优化难于满足工程需要。本文提出从零件的刚、强度及动力学需求出发，开展结构拓扑优化在工程应用方面的研究具有重要价值。

拓扑优化；柔度；连续体结构；桁架；密度法

0 引言

给定设计目标和约束的情况下，寻找性能优、容易制造、重量轻的产品拓扑结构和材料布局是设计者追求的目标。连续体结构拓扑优化的目的是在工程结构设计的初始阶段为设计者提供一个概念性设计方案，从而改变传统的设计、校核、修改这样一个不断反复的串行开发流程，已经成为当今结构优化设计研究的一个热点[1,2]。其实质是材料在设计空间的分布优化[3]，通过迭代计算，保留对结构传力路径有利的结构单元，删除对结构传力路径作用不大的单元。

本文以桥梁加固中的桁架为研究对象，提出基于密度法中的SIMP(solid isotropic material with penalization) 的多目标拓扑优化方法,通过对桁架初步结构进行刚、强度和固有特性进行分析，寻找影响桁架刚、强度和动力学性能的关键结构单元，进行桁架的拓扑结构优化设计，提出了满足性能要求的三种桁架结构供选择，实现了桁架的多目标拓扑优化,得到了同时满足静态多工况下刚、强度、固有频率要求的桁架拓扑结构。

1 SIMP 密度—刚度插值法

结构的总体柔度可写为：

结构总体柔度C的敏度为：

体积约束的敏度方程可写为：

其中ue是单元位移列矢量，ue可以通过求解结构有限元平衡方程F=K×U得到。在体积约束下，以结构柔度为目标函数时，基于SIMP方法的连续体结构拓扑优化模型为：

xmin是单元相对密度的最小极限值，引入xmin的目的是防止单元刚度矩阵的奇异值；ve为优化后的单元体积，N为单元总数目。由此，离散结构拓扑优化问题变成了连续体结构拓扑优化问题。

2 桁架刚、强度分析

在进行大型重载件的运输过程中，载重车辆可能要经过相当数量的桥梁，经过桥梁的车辆和载重量可能超过了桥梁本身的设计负荷，为了车辆和桥梁的安全，需要对桥梁进行加固。如图1所示的石拱桥，不能承受重型载重汽车运输石油钻井设备，利用传统加固桥梁的方法实施非常困难，工程部门通过对各种加固方案进行比较，提出在桥墩上制造一个桁架，桁架与桥拱间有25cm的间隙，要求60吨的载重汽车经过加固的桥面后不能对拱桥产生破坏，即在60吨的载荷作用下，桁架的最大变形小于25厘米、同时载重车在桥面的行驶过程中，桁架不能发生共振。

图1 加固前拱桥截面图

2.1 加固桁架的结构设计

根据上述要求，加固桁架的长度、宽度和高度受原桥梁的限制，在此约束条件下，桁架各杠的连接是进行结构设计重点关注的问题。结构设计人员设计了如图2所示的桁架三维结构，桁架的重量为21432.6 kg。

图2 设计的钢桥桁架

2.2 加固桁架的刚、强度分析

对设计的加固桁架，在载重车辆通过时桁架将发生变形，变形后的桁架是否与石拱桥的石拱发生接触是加固桁架设计是否成功的关键。通过对设计的桁架结构进行有限元分析，分析其结构的刚度是否满足要求。在分析过程中考虑到载重汽车载荷的变化，分析载荷为60吨和90吨两个工况。通过对桁架的静力学、动力学分析，在90吨载荷的作用下，桁架的刚、强度均存在较大的富裕，拟通过拓扑优化，提高材料的使用率，降低成本。

3 桁架的拓扑优化

从桁架的刚、强度分析结果可以看出，桁架的原结构设计不合理，材料的利用率不高，有一些杠件的应力非常低，没有发挥其能够发挥的作用。在对原结构的刚、强度进行认真分析的基础上，提出如下三个桁架结构方案：

在相同的边界条件下，计算各个方案的应力、变形及其分布规律和结构的各阶固有模态。各个方案的刚、强度分析结果如表1所示；各优化方案的各阶模态如表2所示。

表1 各个优化方案的刚、强度分析结果比较

表2 各优化方案的各阶模态比较

从上述方案的分析结果可得如下的结论：

1）所制定的三个方案都能够满足桁架结构的性能要求；

2）从材料的利用率和结构的工艺性进行分析比较，方案3是所有方案中最有的方案，最终被业主单位采用，通过近两年的使用和检测，达到设计要求。

4 结论

目前对连续体结构的拓扑优化研究主要集中在单目标的拓扑优化。然而，在实际工程结构中存在着大量的多目标拓扑优化问题，因此仅仅是单目标的拓扑优化很难得到满足实际工程需要的最优结构拓扑。虽然各种各样的多目标优化方法已经应用于结构的形状优化和尺寸优化中，但设计变量仅局限于尺寸变量(如截面尺寸、厚度等) ,它们都存在不能改变结构拓扑的缺陷。

针对结构布局优化设计的难点，本文提出了通过对基结构进行有限元分析，利用分析结果寻找影响结构刚、强度和动力学性能结构要素，结合制造工艺，对结构进行形状、拓扑结构布局优化方法在工程设计是一种比较可行的方法。

[1] Bendsoe M P,Sigmund O.Topology Optimization：Theory,Methods and Applications [M].Berlin：Springer,2003.

[2] Hassani B,Hinton E.Homogenization and Structural Topology Optimization Theory,Practice and Software[M].London：Springer,1999.

[3] Rong J H,Xie YM,Yang X Y. An Improved Method for Evolutionary Structural Optimization Against Buckling[J].Computer & Structures,2001,79：253-263.

[4] 范文杰,范子杰,苏瑞意.汽车车架结构多目标拓扑优化方法研究[J].中国机械工程,2008,19(12),1505-1508.

[5] Bendsoe M.P.and Sigmund O.Topology optimization：theory,methods and applications.New York：Springer,2003.

TH166

A

1009-0134(2010)10(下)-0196-03

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.10(下).61

2009-11-05

重庆市教委资助（KJ061405）

胡桂川（1964 -），副教授，硕士，主要从事工程分析与计算流体力学研究。