Schrödinger算子的Riesz平均不等式

赵 琳, 贾 高

(上海理工大学理学院,上海 20093)

1 问题的提出

Schrödinger方程是在1926年提出的,它是量子力学的基本方程,它的提出使得量子力学许多核心的问题得以解决.因此,在数学领域对Schrödinger算子的研究也随之增加,对其谱理论的研究便是研究热点之一.

一般来说,瞬间热核膨胀中,正常高频光谱密度在膨胀的前期和后期并不完全一致,但是,Riesz平均通过对低频密度光谱求平均的方法,消除了光谱密度在高频区的震荡,使得光谱密度的各个阶段在Riesz平均意义下是严格一致的.因此,对 Riesz平均的进一步研究,无论是对于数学理论还是应用领域都有着十分重要的意义.

文章主要讨论定义在有界区域Ω⊂Rd(d≥1)上的Schrödinger算子-Δ+V(x)的离散谱,利用有关特征值估计的迹公式,采用一种新的方法证明了特征值Riesz平均的微分不等式和差分不等式,进而得到有关Riesz平均的单调性.

2 预备知识

如果λj,uj满足方程-Δuj+V(x)uj=λjuj(j =1,2,3,…),便称uj为Schrödinger算子-Δ+V (x)的特征函数,λj为Schrödinger算子-Δ+V(x)对应于特征函数uj的特征值.根据微分方程理论,在一定的条件下,Schrödinger算子的特征值是存在的,而且是离散的.

注:根据定义有

引理1[1]设为Schrödinger算子-Δ+ V(x)对应于特征值的 L2-正规化特征函数,记2,…,d.那么对于每一个固定的α,成立

引理2[2](Hadamard不等式)设φ是区间[a, b]上的凸函数,则对于a≤x1＜x2≤b,有

仅当φ为线性函数时等号成立.

引理3 对于0＜x＜y,σ≥0,则成立

式中Cσ是一个与σ有关的常数:

的上确界.下面分两种情况讨论:

a.2＜σ＜∞或0≤σ＜1.

令f(t)=tσ-1,t∈[1,a],∀a＞1.因为当2＜σ＜∞或0≤σ＜1时,f(t)在t∈[1,a]上为凸函数,所以对∀1＜y≤a利用引理2得

即

b.1≤σ≤2.因为

引理4[3]设 d≥3,对于 Schrödinger算子-Δ+V(x)中的V(x),若是有限的,则存在仅依赖于维数d的常数Kd,使得

由文献[1]知:对于Schrödinger算子,若V(x)满足一定的假设条件,那么能够被λj乘以一个常数进行约束,而且因V(x)的假设条件不同,这种约束存在有很多种情况,所以,为了后面的证明可作以下假设:

假设∑ 存在0＜ρ＜∞,使得Tj＜ρ λj成立.

事实上,假设∑包含了以下3种特殊情况:

a[4].若V(x)≥0,则ρ=1;

b[1].对于则

下面证明假设∑中c的情况.

定理1 设λj为Schrödinger算子-Δ+V(x)的第j个特征值,若则有

证明 因为{um}为完备正交系,再利用引理4得

所以结论成立.

3 主要结论

下面叙述文中的主要结论,此结论包括:Riesz平均关于σ的差分不等式和关于z的微分不等式两部分.

定理2 在满足假设∑的条件下,若2≤σ＜∞, z≥0,则成立

证明 记

由引理3可得

由引理1可得

式中

在式(8)中对α=1,2,…,d求算术平均,并由假设∑可得

利用式(1),则从式(9)得

即

下面分3种情况讨论:

情况1 1≤σ≤2.此时Cσ=1,所以

于是

又因为1-Cσ＞0,所以在式(11)中对所有的q和α求和,得到

利用假设∑和式(1),可得

另一方面,

同理

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