载波与码相位分离的载波频偏估计算法

任江涛， 夏传浩，2， 洪 一，2

(1.合肥工业大学计算机与信息学院，安徽合肥 230009;2.中国电子科技集团公司第38研究所，安徽合肥 230031)

卫星接收机的基带信号处理部分主要是完成对载波多普勒和码相位偏移的捕获和跟踪，以实现本地参考信号的载频和码相位与卫星信号的精确同步，解调出数据电文。载频的精确同步可以获得高增益的PN码相关值。精确、快速估计卫星信号的载波频偏是卫星接收机的首要工作和PN码相位同步的必要前提，对于接收机的实时工作具有重要意义。

卫星系统的高动态产生的多普勒效应，以及晶振稳定度的限制使得接收机和发射机的本振存在频差，导致接收中频信号存在频偏。载波频偏会对基带信号产生幅度调制，使直扩信号的极性发生翻转，降低信号的码相关峰值和检测概率。若用1个调制符号位扩频1个周期PN码，则在PN码相位已对准的情况下，归一化的码相关幅频响应为[1]:

其中，f d为载波频偏;T c为码片宽度;L为1个PN码位数;数据符号率R b=T c L。随着载波频偏的增大，归一化码相关值急剧下降。当载波频偏为整数倍的符号速率时，相关值为零，其原因是载波频偏使得一个符号内的码片对半地发生极性反转。

在现有众多的卫星信号载波频偏和PN码的捕获算法中，大多是采用二维搜索的方式，即以一定的载波频偏和码相位间隔对卫星信号进行二维遍历相关[2，3]。在近地轨道(LEO)通信中，多普勒频移多达几十kHz甚至上百kH z，如此高动态的扩频信号，二维搜索时间更长，极大地增加了首次捕获卫星信号的时间。

另外，文献[4]采用分段匹配的方式规避了捕获阶段多普勒频移对码相关值的影响，极大地提高了PN码相位的捕获速度。但载波跟踪环的带宽一般要求在10 H z甚至数Hz以内[3]，而实际多普勒频移在正负数十kH z之间，因此，这种算法的应用范围具有一定的局限性。

鉴于以上算法在卫星信号的捕获速度或精度方面的欠缺，本文提出了载波和码相位分离的载波频偏估计算法，消除码相位和数据符号位对载波频偏的影响，算法框图如图1所示。

图1 码相位分离的载波频偏估计算法

本文算法将卫星信号的载波频偏和码相位的二维搜索转化为载波频偏和PN码相位的独立同步测量，可以实现卫星信号大载波频偏的快速、高精度的估计，同时也为PN码相位的高精度测量奠定基础。

1 载波与码相位分离的载波频偏估计

1.1 算法描述

数字中频信号为信号与噪声之和，其数学模型为:

其中，A(◦)为信号的幅度;ωc′为中心角频率;t s为采样间隔;φ(◦)为PN码相位分量;φ0为初始相位;a为零漂分量，假定n(◦)为服从N(0，σ2n)高斯分布的白噪声。

将中频信号x(n)进行数字下变频到基带信号。数控振荡器NCO产生的本地正交混频复信号为:

其中，ωc为额定的载波中心频率。由数字混频过程，则有:

其中，符号.*表示点积乘，下同。为了表述简洁，暂不考虑卫星信号x(n)幅度A(◦)的起伏衰落。

由欧拉公式得:cosω=(ejω+e-jω)/2，代入(4)式，则数字混频后的信号成分有差频ωd=ω′c-ωc、倍频ω′c+ωc、PN码φ(◦)、零漂a产生的频率ωc以及噪声。

低通滤波器LPF的作用是抑制倍频、零漂频率分量及噪声，保存PN码相位信息φ(◦)和差频分量ωd。在图2所示的低通滤波器的幅频特性中，以2πrad/samp le归一化，采样率fs=4ωc，则零漂频率ωc对应归一化频率0.25，倍频ω′c+ωc对应0.5左右。抽取过程实现采样率的降低，以减少基带信号处理的运算量。抽取率的选择根据中频信号的采样率f s和PN码速率f0之间的关系。为保证抽取后的PN码信息的完整性，降采样后的最低采样率等于码速率f0，即最大抽取系数为f s/f0。

数字下变频后，输出信号为exp(j(ωd nt s2+φ(nt s2)+φ0))，其中t s2为低通滤波降采样后的采样间隔。应用本文算法，将信号的实部I和虚部Q直接做乘法运算，则有:

由于码相位φ(◦)∈{0，π}，则2φ(◦)为0或2π。因此，(5)式中的码相位信息被消除，可简化为

至此，信号频率成分仅包含2倍的载波频偏2ωd分量及噪声，通过FFT频谱分析可估计出2ωd值。

为了减少频谱分析的运算量，对消除码相位后的信号进行低通滤波降采样。根据Nyquist采样定理，最低采样率为4ωd。每M个相邻数据点加权积分，M的取值要满足f0/M≥4ωd。降低信号采样率的同时也抑制了载频带外噪声。

图2 低通滤波器的归一化幅频特性

1.2 精细频率估计

频谱的离散取样造成了栅栏效应。当多普勒频偏位于FFT输出单元之间时，谱分析法找到的信号频率存在较大的误差。当输入的连续波信号在时域上具有整数倍周期时，FFT的输出频率单元正好落在连续谱曲线的峰值和零值点上。对实际有限长时间序列进行FFT时，输入信号的能量不可避免地会泄露到FFT其它所有输出频率单元上[5]。

解决栅栏效应的一种比较有效的方法是对主瓣局部谱线进行内插。在FFT输出的幅度中，对于检测到的峰值，利用二次多项式(即抛物线)来拟合此峰和它相邻的2个采样的幅度[6]。

假定FFT输出采样Y(k)是频率序号k的连续函数。在FFT峰值位置k0处附近，假定|Y(k)|具有以下的形式:

考虑主瓣3个测量值|Y(k0-1)|、|Y(k0)|和|Y(k0+1)|，代入(6)式中，构成方程组。由于系数矩阵具有Vandermonde矩阵结构，且行列式非零，方程组可以保证有唯一解[6]。

序列峰值位置写成k′=k0+Δk，其中Δk为相对于FFT序号k0的偏移量。由这3个FFT采样得到的二次多项式可以表示为:

对(7)式关于Δk求导并令其结果为零，解出Δk得:

当主瓣响应的宽度太窄，以至于FFT采样峰值和它的2个相邻采样不在同一个主瓣响应上时，二次多项式内插不再有效。避免此问题的一种方法是对信号加窗，使主瓣展宽以保证最大FFT输出和2个相邻采样位于同一主瓣内[5]。Hamming窗使信号能量更加集中在主瓣内，主瓣的能量占99.96%，第1旁瓣衰减-40 dB，主瓣内有4条谱线。

加Hamm ing窗和未加窗时的二次多项式内插器的频率估计性能，如图3所示，序列长度为64点。

图3 二次多项式内插器的频率估计性能

由图3可以看出，当实际频率非常接近FFT输出频率或位于频率单元中间时，内插器的频率估计非常理想，H amming窗可以把最大误差减小到约0.07个频率单元，位于频偏0.32个单元处。

由(8)式，可得二次多项式内插后的精细频率估计值为:

至此，载波频偏被精确地估计。同时，将此频偏估计值送至码捕获模块，补偿载波频偏以减小码相关的信噪比损失。此后，载波频偏的再次估计和PN码的匹配相关将同步进行[7-9]。

2 算法演示

某导航数字中频信号，载波中心额定频率ωc=12.24MHz，采样频率f s=48.96 MHz，PN码速f0=4.08 MHz，码长L=255，数据符号率R b=16 kHz，且1个数据符号位扩频1个PN码。

卫星信号下行频率f r的最大多普勒频偏计算式为[2]:fdr=frvdm/c。其中，c为光速;vdm为导航卫星的最大径向多普勒速度。经计算，该导航卫星产生的最大多普勒频移约为±8 kHz。鉴于接收终端亦存在一定的动态范围，最大多普勒频偏f dr取±10 kHz。

由(1)式计算可得，载波频偏7.088 kHz处的归一化相关值为-3 dB，1 kHz处归一化值为-0.055 9 dB。在实际工程中，虽然1 kHz的载波频偏就可以达到非常理想的码相关增益，但最终要使得载波频偏的估计精度落在载波跟踪环的数十Hz带宽以内。

降采样抽取率选择最大值fs/f0=12，此时信号的采样率等于PN码速率4.08 MHz。I、Q 2路信号相乘，消除PN码相位后信号为2ωd的正弦波及噪声，频率范围为±20 kH z，其信号及频谱如图4所示。

图4 I、Q相乘后的信号及其频谱图

对此4.08MHz的正弦波信号进行低通滤波降采样。取每80个相邻数据点加权求和，加权系数为低通滤波器的系数。低通滤波操作输出的数据率为51 kHz，满足Nyquist准则。

对时间为t的数据做FFT谱分析得到的频率分辨率为1/t。考虑到载波跟踪环的带宽要求，选择20 m s的输入数据加Hamming窗并进行FFT谱分析，频率间隔为50 H z，信号及其频谱如图5所示。

图5 加H amm ing窗后的信号及其频谱图

未加窗及加Hamm ing窗后的信号局部频谱图，如图6所示。

由图6所示的频谱对照可以看出，对信号加Hamming窗保证频谱主瓣内存在3条谱线，使二次多项式内插法得以应用。很明显，这是以一定的信噪比损耗为代价的。在实际的低信噪比检测中，加Hamm ing窗的二次多项式内插器能够提高频率估计精度到1/3个FFT频率单元。

连续波信号是窄带信号，而噪声遍布整个带宽，采样率的n倍降低带来信噪比的增益即为10lg n。在本算法演示中，信号经过2次降采样，采样率降低12×80=960倍，则信噪比的增益为10lg 960≈29.8 dB。考虑到3次滤波加权的1.86、1.33、1.34 dB的损耗以及信号从中频双边谱下变频到基带单边谱的3 dB损耗，实际得到的信噪比增益约为22 dB。同时，1 020点(20 ms的数据)的FFT获得10lg 1 020≈30.1 dB的处理增益。M atlab实验仿真表明，在数字中频信号的载噪比低至-21 dB/H z的情况下，20 ms的输入信号可获得10 H z以内的载波频偏估计精度，满足载波跟踪环的带宽要求。

3 结束语

本文提出了载波与码相位分离的卫星信号载波频偏估计算法，算法的复杂度远低于传统载波频偏和码相位的二维遍历搜索算法，可有效提高载波频偏的估计精度，用于估计卫星信号载波多普勒频率，尤其适用于近地轨道(LEO)通信领域的高动态卫星多普勒频偏的快速捕获。M atlab仿真实验结果表明，该算法在导航卫星信号的载波频偏捕获中是行之有效。

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