上海光源真空内波荡器积分场垫补中模拟退火算法的应用

陆 杰 周巧根 王宏飞

(中国科学院上海应用物理研究所 上海 201800)

真空内波荡器可使中能第三代同步辐射光源产生与高能光源相比美的硬X射线，这一关键设备的结构复杂，其制造工艺集高精度磁体技术、超高真空技术、精密机械传动和控制技术于一体。上海光源BL15U1线站使用真空内波荡器(IVU-25)，其全部磁体和支撑梁处于超高真空环境中[1]。设计参数为：周期长度25 mm，周期数80，总长度2.0 m，峰值磁场强度≥0.94 T，最小使用磁隙7 mm，最大使用磁隙20 mm (30 mm)，最小工作磁隙(半年内) 8 mm，积分场四极分量≤50×10–4T，六极分量≤60×10–2T/m，八极分量≤100 T/m2。

理想的波荡器当无磁场误差，实际上由于波荡器上使用的磁化块不可避免地存在剩磁不一致、磁化不均匀等问题，加上安装过程中的机械公差等因素，波荡器会有一定的磁场误差。其磁场性能直接影响储存环的工作状态，一般采用积分场及多极分量来衡量波荡器磁场误差对储存环工作状态的影响[2]，积分场四极分量误差会引起加速器工作点漂移；六极分量会造成β振荡非线性，减小束流孔径；八极分量也会导致束流孔径减小，并降低束流寿命[3]。

波荡器一、二次积分场误差，可通过安装在波荡器两端的调补线圈进行垫补；而积分场多极分量则由波荡器两端的磁柱组合端部结构进行垫补[4,5]，这种磁柱组合端部结构称为“魔指”(magic fingers)。在积分场多极分量垫补过程中，我们使用模拟退火算法进行积分场多极分量的优化计算。本文给出了模拟退火算法详细的优化过程，通过优化一次积分场分布来垫补多极分量。

1 模拟退火算法基本理论

统计热力学表明，在平衡状态下，原子能量的概率分布满足Boltzmann方程

式中，Em为状态m的能量，Pm为原子在状态m的几率，k为Boltzmann常数，Z为概率分布的标准化因子，T为温度(K)。对固体材料作退火处理，是将材料加温再降温。由式(1)，升温时固体材料的原子处于能量较低微观态的几率较大；降温时，能量最低的微观态最有可能出现；温度趋于零时，固体原子处于能量最小的基态，形成低能态晶格。

模拟退火法(Simulated Annealing Algorithm)[6]采用Metropolis接受准则，并用冷却进度表控制算法进程，使算法在多项式时间里给出一个近似最优解。式(2)为模拟退火算法过程的概率函数，Metropolis接受准则可描述为：把组合问题的初始状态m作为当前状态，其目标函数为F(m)，对组合进行随机微小变化，得到新状态 n，目标函数为F(n)，当F(n)< F(m)，以n取代m成为当前状态；当F(n)≥F(m)，则在[0,1)区间产生一个随机数μ，若p＞μ, 则以n取代m成为当前状态，相应的解作为当前新解。

模拟退火算法具体步骤是：从某个初始解出发，经Lk次变换并执行Metropolis算法，得到控制参数温度T=T0时组合问题的优化解。依据冷却进度表递减T值，重复执行Metropolis算法，经k次迭代使控制参数T趋于零，最终求得组合优化问题的最优解。Lk为MapkoB链长度，表示Metropolis算法第k次迭代时进行的变换数，此时的控制参数为Tk。

2 波荡器积分场多极分量优化目标的建立

2.1 “魔指”端部结构模型

真空内波荡器有4个“魔指”结构，分别安装在波荡器入口和出口上下磁排列的端部。单个端部结构上有两排共34个孔位(图1)。计算时以中心孔位置为X轴零点，则孔的中心坐标沿水平方向的分布范围为[-35.2, 35.2] mm，间距4.4 mm。用于垫补的小磁柱参数为：半径r=1.5 mm，厚度H=2.5 mm，剩磁Br=1.13 T。根据设计，每孔可置0–6个小磁柱组合以调节磁场大小，使其产生所需的一次积分场分布。

图1 真空内波荡器IVU-25的“魔指”端部结构Fig.1 The holder for magic fingers of the in-vacuum undulator (IVU-25).

2.2 积分场多极分量优化目标的建立

式(3)和(4)为波荡器磁场横向分量 Bx,y(x,y,z)沿纵向Z轴的一、二次积分Ix,y(x)、IIx,y(x)。用式(5)、(6)对波荡器一次积分场误差 Iy(x)、Ix(x)进行多项式拟合，可得波荡器积分场多极分量，其中 Bn为正2n极分量，An为斜2n极分量[7]，n =2, 3与4则分别为四极分量、六极分量与八极分量。式(3)–(6)表明，减小波荡器一次积分场误差，可减小积分场多极分量。

通过“魔指”端部结构进行垫补前分配入口和出口的一次积分垫补量如式(7)、(8)所示，可同时垫补二次积分多极分量，式中Iin-x,y(x)、Iout-x,y(x)分别为分配后波荡器入口、出口端需垫补的一次积分，Lout为波荡器出口端到翻转线圈[7]出口端的距离，Lu为波荡器长度。

式(9)–(11)为积分场多极分量优化时的目标函数：

其中，Fj(xk)为正分量一次积分分布；Gj(xk)为斜分量一次积分分布；j为需优化的磁隙数目；i为端部块某孔位号，孔中有0–6个小磁柱组合；xk表示中平面上水平方向位置；fij(xk)、gij(xk)分别是端部结构中不同位置孔中的小磁柱组合在不同磁隙的中平面上产生的正、斜分量一次积分分布，可通过磁荷模型进行计算；wj为优化时不同磁隙的权重系数。

图2 单个磁柱计算模型Fig.2 Single magnet model.

用图 2的单个磁柱模型(图中箭头表示磁柱的磁化方向)，并设磁柱的几何中心为(a, b, c)，磁柱的磁导率为1，则用磁荷模型可得磁柱在(x, y, z)点的磁场正、斜一次积分解析公式：

式中，Br为磁柱的剩磁，r为磁柱半径，H为磁柱高度，p为磁柱的磁化方向(磁柱磁化方向同y轴，p=1；反之，p=-1)。

通过建立目标函数，积分场多极分量垫补问题转化为优化一次积分场分布。具体优化时，已知误差数据，寻找最佳的能抵消误差的磁柱组合是一个逆向过程，使用模拟退火算法可模拟“魔指”端部结构中所有孔中小磁柱的随机组合放置方式，即每个孔中的磁柱放置数量及其组合的磁化方向，计算每种组合的目标函数值，快速找到最佳磁柱组合。

2.3 模拟退火算法在多极分量优化过程中的应用

IVU-25积分场多极分量垫补前，我们用翻转线圈测量系统测量了波荡器气隙为8、12、16和20 mm时中平面上的一次积分Ix,y(x)及二次积分IIx,y(x)误差分布数据，测量宽度为±10 mm，间隔2 mm。根据式(7)、(8)对垫补量进行分配，利用模拟退火算法，设置合理的权重系数wj，同时优化这四个磁隙下的一次积分场分布。优化过程中权重系数设置时，观察理论垫补后一次积分曲线，适当加大模拟垫补后不理想磁隙的权重，以达到多个磁隙下最佳垫补效果。一般说来，波荡器中积分场误差随磁隙的变化规律与垫补磁柱产生的积分场随磁隙的变化类似，可将权重系数均设定为1，在IVU-25垫补中，四个待优化磁隙的权重系数为[1,1,1,1]。

由波荡器积分场多极分量优化目标函数，得模拟退火算法优化流程如图3，图中ΔF为扰动前后的目标函数差，T为退火温度，α为退火因子。依据Metropolis接受准则，控制参数温度 T越高或 ΔF越小，相对的扰动解被接受为新解的概率越高；当控制参数温度T随迭代次数降低时，较差的扰动解被接受为新解的概率也随之下降；当控制参数温度趋于零时，程序可得到优化问题的整体最优解。

图4为优化过程中目标函数的变化，可见模拟退火算法不依赖于优化问题的初始解，随着模拟次数的增加，最终收敛于整体最优解。

图3 多极分量优化模拟退火算法程序流程图Fig.3 The logic diagram of simulated-annealing optimization procedure.

图4 优化过程中目标函数变化Fig.4 Changes in object function value in the simulation.

图5为IVU-25在磁隙为8、12、16和20 mm时垫补前后的正、斜分量一次积分分布曲线。多极分量垫补后一次积分误差分布显著减小，模拟退火算法优化得到的垫补磁柱在波荡器多个磁隙下均能有效的进行垫补。表1、2分别为垫补前后的正、斜分量积分场多极分量，垫补后积分场多极分量明显减小，均达到设计要求。

图6所示为垫补后测量得到的磁隙为7–28 mm时积分场多极分量随磁隙的变化曲线，可见通过减小波荡器一次积分场误差以优化积分场多极分量的垫补方法，是可行的。

图5 磁隙为8、12、16、20 mm时垫补前后一次积分分布Fig.5 First field integrals before and after shim at the gaps of 8, 12, 16 and 20 mm.

表1 垫补前后正分量积分场多极分量Table 1 The normal integrated multipole components before and after shim.

表2 垫补前后斜分量积分场多极分量Table 2 The skew integrated multipole components before and after shim.

图6 真空内波荡器磁隙7–28 mm时多极分量曲线Fig.6 Gap vs integrated multipole components of the IVU-25.● Normal ▲ Skew

3 结论

模拟退火法描述简单、使用灵活、运用广泛、运行效率高，已成功应用于上海光源真空内波荡器积分场垫补中。通过模拟退火算法的优化，“魔指”端部磁柱能有效垫补全磁隙内的积分场多极分量。垫补结果显示，各多极分量均达到设计要求。上海光源真空内波荡器(IVU-25)已安装到存储环上，并调试成功出光。

1 Onuki H, Elleaume P.Undulators.Wigglers and their applications, Taylor & Francis, London, 2003

2 Musardo M, Bracco R, Diviacco B, et al.Magnetic characterization of an APPLE-II undulator prototype for fermi@elettra.Proc EPAC08, 2296

3 Tanaka T, Seike T, Kitamura H.Nucl Instrum Meth Phys Res, 2001, A465: 600–605

4 Hoyer E, Marks S, Pipersky P, et al.Rev Sci Instrum,1995, 66(2): 1901–1903

5 Iviacco B, Bracco R, Knapic C, et al.Trim magnets for field integral correction of APPLE type undulators,Sincrotrone Trieste Technical Note ST/SL-04/01

6 康立山, 谢 云, 尤矢勇, 等.模拟退火算法.北京: 科学出版社, 1998 KANG Lishan, XIE Yun, YOU Shiyong, et al.Simulated annealing algorithm.Beijing: Science Press, 1998

7 王宏飞, 陆 杰, 周巧根, 等.强激光与粒子束, 2008,20(5): 871–875 WANG Hongfei, LU Jie, ZHOU Qiaogen, et al.High Power Laser Part Beams, 2008, 20(5): 871–875