基于感度的火工品发火可靠性试验数据分析

温玉全，张利敏，洪东跑

(北京理工大学 爆炸科学与技术国家重点实验室，北京100081)

火工品发火可靠性试验及其数据分析的主要目的是验证或评估产品的可靠性［1］。由于火工品属于一次性作用的敏感性产品，一般假设每个产品均存在一个临界刺激量，当外界施加的刺激量大于临界刺激量时，该产品响应;否则不响应。一般把产品的临界刺激量的分布称为感度分布。

火工品的临界刺激量是不能直接测量的，其发火可靠性试验是在若干刺激量下做刺激试验，试验数据是这些刺激量和相应的响应或不响应数。为了对火工品的发火可靠性进行评估或验证，目前国内外最常用的试验及其数据分析方法为:1)进行升降法试验［2］，利用试验数据，估计感度分布中的未知参数，进而求得分布函数某分位点估计或某刺激量处的可靠度估计。由于感度分布参数的估计值可能有较大的偏差，从而导致分位点估计或可靠度估计偏差较大，特别是对高可靠性要求的产品，这种偏差有时会达到难以容忍的程度。2)在工作刺激量处做成败型试验，应用二项分布模型验证或评估产品的可靠性。该方法需要的样本量太大，如航空航天类火工品，在置信度0.90 或0.95 下，要求可靠度达到0.999 以上，为了鉴定产品的可靠性需要在工作刺激量处试验2 303 发或2 996 发，且必须全部响应。不仅试验工作量大而且试验费用昂贵。故本文结合工程应用背景，综合利用升降法试验数据和固定刺激量处的成败型试验数据，给出了基于感度试验的火工品发火可靠性试验数据的分析方法。

1 感度分布参数估计

假设感度分布为F(μ，σ)，本文利用升降法试验估计感度分布参数(μ，σ).升降法试验包括3 个因素:试验样本量N、初始刺激量x0和步长d.x0和d 选定后，用x0作第1 次刺激-响应试验;第2 次及以后每次试验所用刺激量的取法如下:如前一次试探的反应结果为响应，则本次试探用刺激量为xi+1=xi-d;如为不响应，则为xi+1=xi+d.如此循环试验，至完成预定试验样本量N 为止。由升降法试验数据可以得到火工品感度分布参数(μ，σ)的极大似然估计，当数据存在“混合区”(最大不响应刺激量要大于最小响应刺激量)时，极大似然估计(MLE)唯一［3］。在实际应用中，只有数据存在混合区参数才有唯一的MLE，否则认为试验无效，需要重新进行升降法试验。

有研究［3-4］表明是μ 的无偏估计，不是σ的无偏估计，且试验方案(x0，n，d)对的影响较大，其中d 的影响最大。为了进一步研究试验方案对参数估计的影响，利用蒙特卡罗方法模拟升降法试验。模拟结果表明，试验方案对的影响较小，对的影响较大，其中d 对试验的有效性(是否出现数据“混合区”)及参数估计的精确性有较大的影响。通过对不同的试验方案模拟比较表明，当试验样本量相同时试验方案x0=μ、d =σ 是最理想的，故在确定试验方案应该尽可能获得(μ，σ)比较精确的预估。

1)综合利用产品的可靠性信息确定升降法试验方案(x0，n，d)，随机抽取产品进行升降法试验，由试验数据得感度分布参数的MLE和

2 假设检验

假设某火工品的感度分布为正态分布N(μ，σ)，则在刺激量x 处的响应概率为

假设某火工品的可靠性指标为:在置信水平γ下，在刺激量xB处，可靠度为RB.则由(1)式可知对于给定的μ，必存在唯一的σb，满足

由(2)式可得

式中uRB为标准正态分布的RB分位点。

在实际中μ 通常是未知的，由于升降法能较好的估计参数μ，一般通过升降法试验获得其估计值。为了使估计更精确，一般通过3 组样本量为50 的升降法试验，再求参数μ 估计值的平均值得.由于火工品在设计时要求μ ＞3σ，而实际的火工品往往有μ≫3σ.模拟试验结果表明当μ ＞3σ 且n =50时，其中var (μ)为μ 的方差。取3 组的平均值，有由此可知|(-μ)/μ|较小，特别对于机械类火工品，|-μ|小于试验误差。

对于上述火工品，为了判定其可靠性是否达到指标要求，要做如下的假设检验(显著水平为1 -γ)

定理1 ∀x ＞μ 有

σ≤σb⇔F(x，μ，σ)≥F(x，μ，σb).

证明 F(x)对σ 求导有

证毕

由定理1 可知，当刺激量xB＞μ 时，(4)式等价于如下假设:

根据定理1，通过在某一较低的刺激量xC下进行试验(要求xC＞μ)，对(5)式的假设检验进行判断，从而对(4)式的假设检验进行判断，就可以实现对产品响应可靠性的验证。由(1)式可知R(xC)=F(xC，μ，σ)为产品在刺激量xC的响应概率，RC=F(xC，μ，σb)为结合指标产品在刺激量xC响应概率的估计。再由定理1 可知(5)式等价于

因此在工作刺激量xB处检验R(xB)≥RB的问题，就可转变为在刺激量xC处检验R(xC)≥RC的问题。

随机抽取样本量为nc的产品，在xC处进行试验，记不响应数为f.由于不响应数服从二项分布即f～B(nc，1 -R(xC))，在显著水平1 -γ 下，若不能拒绝(6)式中的H0，则有

由此可以确定检验的拒绝域，根据β 分布与F分布分位数的关系，有

当nc和RC已知时由(7)式可确定f，随机抽取样本量为nc的产品，在xC处进行试验，记不响应数为f'，如果f'≤f，则不能拒绝(6)式的H0，从而不能拒绝(4)式的H0;否则，拒绝(6)式的H0，从而拒绝(4)式的H0.

3 抽样方案

在刺激量点xC处进行样本量为nc的试验，取f=0，如果产品全部响应，则不能拒绝(4)式的H0;否则接受(4)式的H1.对应抽样方案(nc，0)则有

式中:α 为生产方风险;β 为使用方风险。当产品的响应概率R≥R1时，则判断产品是合格的，以高概率(大于或等于1 -α)接收;当产品的响应概率R≤R0时，则判断产品不合格的应该以低概率(小于或等于β)接收。结合产品可靠性指标取R0=F(xC，，σb)，R1=F(xC，，)，则当给定α 和β 时，(8)式无解或存在唯一解(xC，nc)，即当(8)式有解的时候能唯一确定试验刺激量点xC和抽样方案(nc，0).一般取使用方风险为β=1 -γ，代入(8)式可得

由于实际应用中当α 取值较小时，nc往往过大，导致试验成本过高，在此把抽样方案由一次抽样(nc，0)，改为二次抽样(nc2/nc1，0，2，1)，即随机抽取样本量为nc1产品在xC处试验，如果全部响应则不能拒绝(4)式H0;如果不响应数为1，则再抽取样本量为nc2产品在xC处试验，如果全部响应则不能拒绝(4)式的H0，否则接受(4)式的H1.其中nc1和nc2满足

当F(xC，，σb)已知时，解(10)式可确定唯一的抽样方案(nc2/nc1，0，2，1).

与抽样方案(nc，0)同理定义R0=F(xC，，σb)，R1=F(xC，，)，有下式成立

同理，解方程组(10)和(11)，如果方程无解，可适当提高α;否则可得(nc1，nc2，xC).

4 基于小样本的发火可靠性验证方法

基于升降法试验数据估计感度分布参数，利用假设检验原理，在某一较低刺激量点进行小样本量的试验，实现对产品发火可靠性的验证或评估，并通过对双方风险的分析，确定试验刺激量点及抽样方案。假设某火工品的感度分布为正态分布(或通过变换后为正态分布)N(μ，σ)，可靠性指标为:在置信水平γ 下，在工作刺激量xB处，响应概率为RB，其小样本试验方法为

1)综合利用已有的产品可靠性信息确定升降法试验方案(x0，d，n)，进行有效的升降法试验，并对σ 的估计值进行修正，得参数估计值(，).

3)在工程应用中，由生产方对产品性能的了解确定生产方风险α.

4)根据(α，γ)，由(10)式和(11)式(当有解时)可得唯一的试验方案(nc1，nc2，xC)，如果无解，适当地提高α，代入重新计算。

随机抽取样本量为nc1的产品在xC处试验，如果全部响应则认为该批产品的发火可靠性水平达到指标要求;如果不响应数大于1，则认为该批产品的发火可靠性水平达不到指标要求;如果不响应数为1，则再抽取样本量为nc2的产品在xC处试验，如果全部响应则认为该批产品的发火可靠性水平达到指标要求，否则认为该批产品的发火可靠性水平达不到指标要求。

5 实例

某撞击火帽要求可靠性指标γ =0.90，发火可靠度R≥0.999，响应刺激量为:落锤质量(388±1)g，落高100 mm.

根据火工品感度分布模型研究结果，其感度分布服从对数正态分布。因其感度分布参数未知，故先确定试验升降法试验方案，进行了1 组有效试验，得参数的MLE.再综合历史信息和试验获得的参数的MLE，确定下一组试验方案，由此一共进行3 组试验，每组试验样本量为50，试验数据列于表1中。

表1 3 组撞击火帽升降法试验数据Tab.1 Three groups of data in up-and-down test

对表1的试验数据进行分析得参数的MLE，并对σ 的MLE 进行修正，结果如表2所示。

表2 3 组升降法分布参数估计值Tab.2 Sensitivity distribution parameter estimation

为了方便工程应用，一般取生产方风险为α =0.1，则对应于试验方案(nc2/nc1，0，2，1)，可由(11)式和(12)式得nc1=32，nc2=17，xC=6.88.

随机抽取32 发产品在xC=6.88 处进行试验，产品全部响应，表明该产品的可靠度达到了指标要求。

由于步进法试验样本量较大，其参数估计较为稳定，根据步进法试验数据估计分布参数，求出满足可靠性指标的刺激量上限，结合产品的技术指标，就可以可判定产品是否达到了可靠性指标要求。某撞击火帽的步进法试验数据如表3所示。

表3 撞击火帽步进法试验数据Tab.3 Test data of stepping method

6 结论

根据火工品感度分布函数的特性，结合假设检验原理，综合利用了升降法试验数据和固定刺激量处的成败型试验数据，给出了基于感度试验的火工品发火可靠性小样本评估与验证方法。通过对某撞击火帽进行大小样本对比试验，验证了本方法的正确性和可行性，利用本方法，可以用200 以下的样本量实现对高可靠度要求的火工品进行发火可靠性验证。

References)

［1］田玉斌，李国英，房永飞.火工品可靠性试验数据的综合分析方法［J］.系统科学与数学，2006，26 (2):147 -158.TIAN Yu-bin，LI Guo-yin，FANG Yong-fei.The synthetically analytical method for data sets on pyrotechnics reliability test［J］.Journal of Systems Science and Mathematical Science，2006，26(2):147 -158.(in Chinese)

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