2010年数学高考应用题评析

● (德清县第一中学 浙江德清 313200)

在2010年全国各地的数学高考试卷中，应用题依然占据重要一席.数学应用题的解答是分析问题和解决问题能力的高层次表现，能反映出考生的创新意识和实践能力.因此从1993年开始，数学高考就逐步开始加强了数学应用和实践能力的考查.近几年来，随着新课程改革的不断推进，应用题逐渐成为高考考查的一个重点.

1 应用型问题在高考中的地位

2010年全国各地高考试卷中有关应用题的命题按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素质融为一体，全面检测了考生的数学素养，体现了高考对数学应用和实践能力的考查要求：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明.

2 命题特点和知识类型

具体地讲，2010年全国各地数学高考试卷中的应用题可谓是精彩纷呈.首先表现在问题情境的丰富多彩，既有传统的“摸球问题”、“种子发芽率”、“海上航行”、“电视塔高度测量”、“扑克牌的抽取”、“工厂的生产计划与利润”等问题，也有新颖的“品酒师的酒味鉴别功能”、“营养师为儿童定制午餐与晚餐”问题，以及社会关注的“城市缺水”问题、“志愿者为老人提供帮助”问题，还出现了具有时代特征的“上海世博会入园人数”、“志愿者赴世博会场馆”、“迎接2010广州亚运会”等问题，体现了应用题背景的多样性.但从解决应用题的第一关“阅读理解”来讲，所有问题都很朴实，贴近生活，易于学生理解，显然未从背景角度设置障碍.从应用题考查的具体内容来看，出现频率较高的仍然是近几年的热点“概率”问题，尤其是大题，譬如浙江、安徽、江苏、江西、山东、四川等省的理科卷和部分文科卷，都重点考查了随机变量的分布列与数学期望等有关概率计算的问题；在湖南、辽宁、广东等卷的大题中，出现了“统计”或“概率与统计”型的应用题，起到了有效降低难度的作用；另有“线性规划”、“解三角形”、“函数求最值”等出现在大题中，小题中出现较多的是“排列组合与计数原理”、“古典概型”、“程序框图”、“函数应用”、“抽样方法”、“统计图表”等应用型题目.总体来讲，全国各地试卷中的应用题虽然形式新颖、内容广泛，但都立意明确，难度不大.

3 亮点扫描

3.1 关注生活，学以致用

例1某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________.

(2010年安徽省数学高考文科试题)

分析本题为分层抽样问题.首先分别根据普通家庭和高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000户居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100 000得到的值即为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计.

本题设置的情境具有时代气息，是当前社会关注的焦点问题，背景清晰、立意新颖、设问巧妙、独具匠心.主要运用了统计中的分层抽样、用样本估计总体的知识，强调了数学学习要关注“知识的运用”.本题以小题的形式出现，减轻了学生应用题的压力，很好地把握了应用题的度.

3.2 回归课本，体现课标

例2一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用2种方法来检测.方法1：在10个箱子中各任意抽查1枚；方法2：在5个箱子中各任意抽查2枚.国王用方法1和方法2能发现至少1枚劣币的概率分别为p1和p2，则

( )

A.p1=p2B.p1p2

D.以上3种情况都有可能

(2010年江西省数学高考理科试题)

分析本题考查的是不放回的抽球问题，重点考查二项分布的概率.本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，给出了一个强烈的导向信号.2010年全国各地考卷中的很多应用题的背景都与课本例题相似，可以说是课本例题的变式题.

3.3 综合考查，出现压轴

例3品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的2次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设n=4，分别以a1,a2,a3,a4表示第1次排序时被排为1,2,3,4的4种酒在第2次排序时的序号，并令

X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，

则X是对2次排序的偏离程度的一种描述.

(1)写出X的可能值集合.

(2)假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列.

(3)某品酒师在相继进行的3轮测试中，都有X≤2.

①试按第(2)小题中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；

②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

(2010年安徽省数学高考理科试题)

分析作为“压轴题”，本题考查的知识点较多，涉及到排列组合、离散型随机变量的概率分布、互斥事件与相互独立事件的概率公式、小概率事件发生的含义等.从数学思想与方法而言，重点考查了概率思想在现实生活中的应用，考查了考生的抽象概括能力、应用与创新意识.解答本题的难点，首先是在复杂场合下进行计数的能力.在解答第(1)小题时，若根据对4个数字奇、偶性的分析概括出X的可能值，则需要高度的抽象概括能力，多数考生不会采用这样的方法；若采用列举法将24种排列全部列出，则需要时间和耐心，稍有不慎，失误在所难免.第(3)小题“你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由”属于开放式的设问方式，有利于考查考生的发散性思维.考生需要首先发现结论，然后再去论证结论.这样的处理增加了问题的难度，增加了本题作为压轴题的份量.

4 复习建议

4.1 重视基础，回归教材

从2010年全国各地数学高考试题中的应用题来看，常规题型依然是考查的主流，考查的几乎都是现行高中数学教材中最基本、最重要的数学知识和数学思想方法.因此高三复习应改变以往片面追求“新、奇、怪”的极端做法，回归教材，狠抓基础，灵活运用知识处理问题.教材是高考试题的重要知识载体，是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”.因为在复习过程中，以课本为“蓝本”对题目举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求做到“以不变应万变”.

4.2 建立模型，突破三关

解决应用题的关键是建立数学模型，也就是将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来.一般地，解决应用题需突破以下3关：

(1)阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义;

(2)建模转化关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题;

(3)数理求解关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．

4.3 综合应用，渗透思想

“重视综合能力的考查、在知识网络的交汇处设计试题”是近几年数学高考命题的重大改革趋势，2010年的应用题体现了综合运用的趋势，譬如概率与统计、概率与排列组合、函数与几何等的综合应用.

探究性、应用性是创新型试题的重要组成部分，探究性、应用性试题具有强大的考查功能，能够弥补传统试题的不足，填补传统试题的考查盲区.在教学中，一定要精心设计好数学探究的教学和数学建模的教学，同时也要把数学探究和数学建模的理念和思想渗透和融入到常规课堂教学中.