卫星发射情况的数理分析

何崇荣

(黄陂区第一中学 湖北 武汉 430300)

在地球表面发射一颗卫星，若发射速度v<7.9 km/s，则卫星会落回地面；若发射速度v=7.9 km/s，卫星恰好能绕地球做匀速圆周运动，即轨道为圆；若发射速度7.9 km/s11.2 km/s，卫星的轨道为双曲线.

对于发射速度v=7.9 km/s时，卫星的轨道是圆，这一点很好理解.但当发射速度v<7.9 km/s以及v>7.9 km/s时，卫星的轨道是什么形状，就不容易理解了.而卫星运动轨道的理论计算相对复杂，本文利用Mathcad软件很好地模拟了卫星的发射情况.

1 在地球表面发射的卫星的运动轨道分析

图1

设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，发射速度为v.以地心为坐标原点建立如图1所示的直角坐标系，则卫星运动的动力学方程为

式中

对于在地球表面发射的卫星，其轨道半径

r≈R

于是就有

图2

图3

图4

图5

图6

2 地球同步卫星的轨道分析

地球同步卫星的轨道平面为什么只能与赤道所在平面共面，对此有些资料是这样讲的：假设人造地球卫星能在图7所示的平面内运动，它受到的万有引力的一个分力提供它做匀速圆周运动的向心力，它的另一个分力会将卫星拉到赤道所在的平面内，所以同步卫星的轨道平面只能与赤道平面共面.

这种解释是不严格的，因为按这个理论，根据运动的独立性，卫星既跟地球同步，又不断向下加速，到达赤道平面后会继续向下运动，即向下减速，于是卫星就关于赤道平面上下运动.而同步卫星的轨道是固定的.那么对于P点一颗人造卫星，其轨道应该是怎样的呢？

图7

设卫星距地心的距离为r，卫星的质量为m，地球的质量为M，地球的半径为R，建立如图8所示的直角坐标系，则卫星运动的动力学方程为

即

图8

于是利用Mathcad软件模拟得到在纬度为30°，距地心距离r=2R处的卫星的运动轨道，如图9所示.所以地球同步卫星的轨道平面不可能与零纬度以外的纬线圈所在平面共面，只能与赤道所在平面共面，并且它的轨道半径，运行速度都是确定值.

图9

注：文中卫星的轨道图全部是利用Mathcad软件画出的.