投资项目现金流序列的分式布朗运动预测

贾保华

(宁夏大学数学 计算机学院,宁夏 银川 750021)

1 引言

对投资项目进行经济评估，主要的任务是预测项目的收入现金流和成本现金流.在主流项目评估教科书上，成本的预测用了不少数学模型[1]，基本的思路是根据过去作过的同类项目，依规模经济原理、考虑时间、地点的变化等而作出推断；而收入的预测相对较难，因为收入受市场影响，和人的心理因素很有关系.可以采用的方法有(1)根据先行量推算.例如，要预测上海地区的原油输入量，可以很方便地根据上海金山石化、上海高桥石化公司的生产计划而得出；(2)根据总量推算.例如，上海每年有2千万平方建筑面积住宅竣工，若每平米装饰造价为1000元，则每年上海市装饰业的总产值为200亿元，各大装饰公司可以根据自身实力、竞争态势来推算每年的营业额；(3)根据历史数据来推算.例如，上海站每年春节后到站旅客要比节前发送旅客增30%，若节前发送量为200万，则节后到达量为260万；(4)按计划确定.例如，海军舰艇有严格的大修、中修、小修维修计划，部队修船厂可根据计划排定的舰艇维修等级来预知收入[2].比较先进的是应用数学模型来预测项目现金流序列，这在国内尚不多见[3]，从已有文献看，主要是利用泰勒级数展开、马尔可夫链等.这些模型能反映项目的普遍特性，但存在灵活性不够的缺点.本文引入分式布朗运动(Fractional Brownian Motion)预测投资项目现金流序列，具有可以进行适用检验、使用灵活方便、精确度高的特点.

2 项目现金流序列的分式布朗运动特性

在对一个投资项目进行经济评估时，要估算项目投产后每年的收入现金流，以计算净现值、财务内部收益率等指标.现金流序列的形式虽然不同，但却具有分式布朗运动的基本特性，下面就来证明.

2.1 项目现金流序列的长程相关性

设一个项目生产的现金流序列为{ζ(t),t=0,1,2,K,T}，T为项目计算期，对于任意正整数τ≥1，定义序列均值

(1)

其中 <·>表示均值，X(t)表示累积离差:

(2)

极差R定义为

(3)

标准差S定义为

(4)

对于比值R(τ)/S(τ)R/S，有如下经验标度关系[4]:

R/S=(ατ)H

(5)

式中:α为任意常数；H为赫斯特(Hurst)指数.

序列{ζ(t)}的时间相关函数

(6)

对于常规投资项目，第零年末的收入为0，即ζ(0)=0，令τ=1，D为扩散系数，满足爱因斯坦关系[5]

(7)

并使2Dτ=1，则

(8)

项目资金流有一个特性，初期流量较小，跟着的现金流量也将较小.这就是现金流的自相关性.这种序列的赫斯特指数H>1/2，从式(8)可以看出，此时c(t)≠0,这正是分式布朗运动的特征.

2.2 项目现金流序列的方差递增性

项目现金流序列增量方差

V(t-t0)=<(ζ(t)-ζ(t0))2>=
2Dτ(|t-t0|/τ)2H∝|t-t0|2H

(9)

对项目现金流估计的把握，早年的比晚年的大，即估计的方差随时间递增，式(9)显示了这个特点，也是分式布朗运动的基本特征.

至此，我们证明了常规投资项目现金流序列具备了分式布朗运动的基本特征.因此，可以应用分式布朗运动预测项目现金流序列.

3 项目现金流序列的分式布朗运动预测

法国数学家曼得尔布罗特(Mandelbrot)和范内斯(Van Ness)给分式布朗运动下的精确定义:

(10)

式中B(t)为随机函数，BH(0)给定；Γ(t)为gamma函数

K(t-t′)=

得

BH(bt)-BH(0)=bH(BH(t)-BH(0))

(11)

可以看出，若BH(0)、BH(1)已知，只要再知道H，就可以求出任意时期的序列值.

H即是赫斯特指数，对式(5)两边求对数，得

lgR-lgS=Hlga+Hlgτ

(12)

将lgR-lgS视作因变量，lgτ视作自变量，则由最小二乘法可得

下面通过一个实例来说明分式布朗运动如何运用于投资项目现金流序列的预测.已知项目各年产生的收入现金流量如表1所示.H的求解根据公式(13)，所需数据的计算如表2.

表1 各年的现金流量(单位:万元)

数据来源:文献[3]

表2 赫斯特指数的求解

4 结论

总结起来，用分式布朗运动预测投资项目现金流序列的步骤如下:第一、求出项目历史数据时间序列或同类项目的赫斯特指数H，若H>1/2，由式(8)知c(t)>0，即未来的增量与过去的增量是正相关的，也就是说，若在过去某时有一个正的增量，那么在将来平均地说也有一个正的增量，说明项目现金流序列具有分式布朗运动的特征；第二、利用已求出的赫斯特指数H和项目历史数据，可递推求出将来年份的项目现金流量.

本方法虽然推导、证明过程比较复杂，但结论很简单，使用方便，是项目现金流量预测从经验到理论的一个有益尝试.

参考文献：

[1]黄渝祥.工程经济学[M].上海:同济大学出版社,1994:68-69.

[2]徐海平.海军某船厂船坞改扩建工程经济评估[D].上海:上海海运学院交通运输工程硕士学位论文,2003:10-12.

[3]侯荣华.利用马氏工程描述项目现金流序列[J].上海运学院学报,1994,15(15):63-67．

[4]黄登仕,李后强.分析几何学、R/S分析与分式布朗运动[J].自然杂志,1991,13(8):477-482.

[5]王忠杰,欧阳斐.IPOs上市定位预测模型研究[J].江苏大学学报:社会科学版,2003(1):127-131.

[6]李大勇,杨米加,聂锐.宏观经济运行中消费心理的分形预测[J].预测,1998,17(3):36-37.