含集总元件的微带电路FDTD仿真

赵海洲 李 烟

摘 要:从Maxwell旋度方程出发,根据集总元件的伏安特性,推导了电阻、电容、电感、二极管、三极管等基本微波电路元件的单网格和多网格FDTD模型。单网格模型是不论集总元件的形状和大小都只占据一个网格的处理方法;多网格模型则是根据集总元件的实际形状和大小将元件跨接在多个网格上,显然这种处理方法更符合实际情况。最后仿真了一个由单个元件组成的简单微带电路——上限限幅器。仿真结果与理论结果吻合得很好,证明了仿真结果的正确性。

关键词:集总元件;FDTD;单网格模型;多网格模型

中图分类号:TM13 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2009)21-019-06

Simulation of Microstrip Circuits with Microwave Devices by FDTD Method

ZHAO Haizhou,LI Yan

(Missile College,Air Force Engineering University,Sanyuan,713800,China)

Abstract:According to the Volt-Ampere characteristic of microwave devices,FDTD formers of resistance,capacitance,inductance,and diode are induced from Maxwell′ curl equations.The form includes single grid former and multi grids former,the single grid former is such a method that the device just takes up a grid in spite of shape and size,The multi grids former is ヾifferent from single grid former,according to the formula of multi grids former,the device takes up multi grids basing on its shape and size,clearly,this method is more felicitous to the fact.A simple microstrip circuit-upper limiter which is composed of single microwave device is simulated.The simulated result tally well with the academic result,this proves that the simulation is right.

Keywords:microwave device;FDTD;single grid former;multi grids former

0 引 言

应用FDTD[1,2]分析微波电路时,需要考虑集总元件,如电阻、电容、电感、二极管、晶体管[3-6]等,它们中有的是线性元件,有的是非线性元件,有的是无源元件,有的是有源元件,要想完成对复杂微波电路的仿真,必须首先得出这些基本元件的FDTD模型。对于包含电尺寸相对小的集总元件的微波电路,在进行FDTD模拟时,可以利用集总元件的伏安特性与Maxwell方程之间的关系,直接把电路元件的支配方程代入Maxwell方程,并把集总元件编入FDTD的迭代公式中,这样便可得到集总元件的FDTD迭代形式。但是这种方法只适合于简单的两端口集总元件,这是因为两端口集总元件电路简单,可以很容易地写出电路的电压与电流之间的关系表达式。但是对于复杂的集总元件,由于等效集总电路[7-9]很复杂,因此这种方法变得很麻烦,而且对于复杂的三端口集总元件已经不能再处理,更一般的方法是用等效电流源或者等效电压源替代集总元件。等效电流源和等效电压源不仅表征了集总元件端口处的散射特性,而且表征了集总元件的伏安特性。等效源在数值上代表了微波集总元件的电流和电压。这些复杂的集总元件的电路伏安特性需要用一套微分方程组(状态变量方程)来表示,就要通过联立Maxwell方程和电路的状态变量方程来模拟微波电路中的集总元件。以上处理集总元件的FDTD方法都是联立无器件区域的Maxwell方程和微波器件的电路方程进行迭代求解的,但是在求解过程中,电尺寸小的微波器件都是由集总等效电路来代替的,在模拟中等效电流源或者等效电压源都以细线处理,放置在网格的一条边上,由于没有考虑微波器件的实际尺寸以及器件在电路中的精确位置,因而导致了寄生电容,产生了数值色散,最后可能破坏计算结果。针对存在的这种问题,在等效原理的基础上,介绍了一种新的集总元件FDTD模拟方法。该方法根据实际情况,将集总元件的FDTD模型从占据一个网格推广到多个网格[10],这样更符合实际电路的情况,从而解决了需要考虑尺寸时微波集总元件的FDTD模拟问题。[FL)]

1 单网格模型

假定集总元件尺寸小于一个FDTD元胞的大小,由于集总元件的存在,麦克斯韦旋度方程应变为以下形式:

×H=礑祎+Jc+JL[JY](1)

式中:Jc=σE为传导电流;JL为集总元件电流。下面推导中不失一般性,设JL沿ez方向,JL与集总元件总电流ILУ墓叵等缦:

JL=ILΔxΔy[JY](2)

将式(1)离散差分,得到Ez的FDTD关系式为:

En+1z(i,j,k+1/2)=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δtε0ΔxΔyIn+1/2L(i,j,k+1/2)[JY](3)

上式中设集总元件处在真空中。即传导电流Jc=0,且集总元件电流位于Ez节点位置,如图1所示。

图1 位于Ez节点的集总元件模型

[BT3]1.1 电阻

电阻电流为:

In+1/2﹝R(i,j,k+1/2)=Un+1/2﹝R(i,j,k+1/2)R[JY](4)

式中:U﹝R为电阻两端电压,它与电场强度Ez的关系为:

Un+1/2﹝R(i,j,k+1/2)=Δz2[En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2)][JY](5)

将式(4)、式(5)代入式(3)得:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δtε0ΔxΔyΔz2R[En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2)][JY](6)

即:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=1-ΔtΔz2Rε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rε0ΔxΔyEnz(i,j,k+1/2)+Δt/ε01+ΔtΔz2Rε0ΔxΔy(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2[JY](7)

式(7)即为电阻所在位置的电场FDTD计算公式。

具有内阻Rs的电压源Us与电阻具有相同的FDTD迭代形式,只是电流公式略有改动,如式(8)所示。

In+1/2﹝s(i,j,k+1/2)=Δz2Rs[En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2)]+Un+1/2sRs[JY](8)

于是得到电压源Us的FDTD计算公式:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=1-ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔyEnz(i,j,k+1/2)+Δt/ε01+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2+

[DW] ΔtRsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔyUn+1/2s[JY](9)

[BT3]1.2 电容

流过电容C的电流为:

IC=dQdt=CdUdt[JY](10)

将电压与电场强度的关系式代入式(10)便可得到电流与电场强度Ez的关系如下:

In+1/2﹝C(i,j,k + 1/2)[WB]=CdUn+1/2﹝C(i,j,k+1/2)dt=Cddt[ΔzEn+1/2z(i,j,k+1/2)]

[DW]= CΔzΔt[En+1z(i,j,k+1/2)-Enz(i,j,k+1/2)][JY](11)

将式(11)代入式(3)得到电容的FDTD计算公式:

En+1z(i,j,k+1/2)=Enz(i,j,k+1/2)+Δt/ε01+(CΔz/ε0ΔxΔy)(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2[JY](12)

[BT3]1.3 电感

电感端电压与电流之间的关系为:

I=1L∫t0Udt[JY](13)

设起始电流为0,由电压与电场强度的关系,可得电流与电场强度Ez的关系为:

In+1/2﹝L(i,j,k+1/2)=1L∑nm=1Um﹝L(i,j,k+1/2)Δt= ΔtΔzL∑nm=1Emz(i,j,k+1/2)[JY](14)

将上式代入式(3)得到电感的FDTD计算公式:

En+1z(i,j,k+1/2)=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δz(Δt)2ε0LΔxΔy∑nm=1Emz(i,j,k+1/2)[JY](15)

[BT3]1.4 二极管

二极管为非线性元件,其电流计算公式为:

ID=I0expqUDKT-1[JY](16)

式中:q=1.502×10-19(J/eV)为电子电量;K=1.38×10-23为波尔兹曼(Boltzman)常数;T为绝对温度。

式(16)的离散形式为:

In+1/2﹝L(i,j,k+1/2)=I0exp[JB([]qΔz(En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2))2KT[JB)]]-1[JY](17)

将上式代入式(3)得:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2i,j,k+1/2

[DW] -Δtε0ΔxΔyI0exp[JB([]qΔz(En+1z(i,j,k+1/2)+Enz(i,j,k+1/2))2KT[JB)]]-1[JY](18)

上式即为二极管所在位置的电场FDTD计算公式,它为超越方程,用一般的方法很难得到正确的解,可以用牛顿迭代法解出En+1z,从而实现从Enz到En+1zУ氖奔洳浇。

2 多网格模型

在上一节中,介绍了集总元件的单网格模型,但在实际情况中,集总元件的尺寸往往并不是只占一个网格,

而是占据多个网格,为了适应这种情况,这里介绍多网格的集总元件模型。

图2 集总元件的多网格模型

以下以内阻源为例来说明多网格模型的建立方法。假设内阻源跨接在z方向的N(k2-k1)Ц鐾格上,如图2所示。[JP]

由电路理论可知,IL=(Us-UL)/Rs,其中UL=-∑k2k=k1E﹝,i,j,kΔz。于是得到zХ较蚣总电流密度为:

Jn + 1/2﹝L=[Us+12∑k2k=k1(En+1﹝,i,j,k+En﹝,i,j,k)Δz]/Rs[JY](19)

为了得到稳定的迭代公式,电场采用了时间平均值。将┦(19)代入式(3),得到内阻源的多网格迭代公式:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=Enz(i,j,k+1/2)+Δtε0(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2-Δtε0[Us+12∑k2k=k1(En+1﹝,i,j,k+1/2+En﹝,i,j,k+1/2)Δz]/Rs[JY](20)

化简得:

En+1z(i,j,k+1/2)[WB]=1-ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔyEnz(i,j,k+1/2)+ Δt/ε01+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy(Δ×H)zn+1/2﹊,j,k+1/2

[DW] +ΔtRsε0ΔxΔy1+ΔtΔz2Rsε0ΔxΔy[Uns+∑k2k=k1(≠k)En﹝,i,j,kΔz][JY](21)

若图2中的集总元件为电容,同样考虑跨接在N(k2-k1)Ц鐾格上,由式(10)可得流过电容的电流密度为:

Jn+1/2﹝L=CΔz∑k2k=k1(En+1﹝,i,j,k+1/2-En﹝,i,j,k+1/2)/Δt[JY](22)

将式(22)代入式(3)后可得到一组相互耦合的线性方程,它们构成如下的线性方程组:

[C﹑q][En+1﹝,i,j,p]=[Bp],p,q=k1～k2[JY](23)

其中:

Bp=ε0ΔxΔyΔtEn﹝,i,j,p+ΔxΔyΔ×Hn+1/2﹊,j,p+CΔzΔt∑k2k=k1En﹝,i,j,k+1/2[JY](24)

C﹑q=CΔz/Δt, [WB]p≠q

ε0ΔtΔxΔy+CΔz/Δt,[DW]p=q[JY](25)

这样,通过求解线性方程组即可得到电容的多网格迭代公式。

若图2中的集总元件为电感,由式(13)可得到流过电感的电流密度为:

Jn+1/2﹝L=ΔzΔt2LΔxΔy∑k2k=k[En+1﹝,i,j,k+1/2+2∑nl=2El﹝,i,j,k+1/2+E1﹝,i,j,k+1/2][JY](26)

将式(26)代入式(3),得到式(23)形式的线性方程组,其系数为:

Bp=ε0ΔxΔyΔtEn﹝,i,j,p+ΔxΔyΔ×Hn+1/2﹊,j,p+ΔtΔz2L∑k2k=k1[2∑nl=2El﹝,i,j,k+1/2+E1﹝,i,j,k+1/2][JY](27)

C﹑q=ΔtΔz2L,[WB]p≠q

ε0ΔtΔxΔy+ΔtΔz2L,[DW]p=q [JY](28)

通过解此线性方程组,即可得到电感的FDTD步进公式。

对于二极管,同样容易得到电流密度为:

Jn+1/2﹝L=-I0ΔxΔyexp[JB((]-qΔz∑k2k=k1En+1/2﹝,i,j,k+1/2KT-1[JB))][JY](29)

将式(29)代入式(3),电场采用时间平均值,于是可得到二极管的多网格FDTD步进公式:

En+1﹝,i,j,k[WB]=En﹝,i,j,p+Δtε0Δ×Hn+1/2﹊,j,p+I0Δtε0ΔxΔyexp[JB([]-qΔz2L(2∑k2m=k1(≠k)En﹝,i,j,m+1/2+En+1﹝,i,j,k+1/2+En﹝,i,j,k+1/2)2KT-1[JB)]][JY](30) [HJ][FL(]

3 算例

算例一:如图3所示,本例中仿真的是一简单的微带电路,微带线导带宽0.75 mm,介质层高1 mm,介质介电常数εr=13.0,导电率σ=0。整个计算空间区域为40Δx×30Δy×25Δz,各方向空间步长为:Δx=0.25 mm,Δy=Δz=0.125 mm,时间步长Δt=0.2 ps,采用┒阶Mur吸收边界条件。激励源为电阻电压集总源,跨接在微带线近端z方向上导带中心和接地板之间的8个网格上。电压Us是幅度为1的高斯脉冲,脉冲宽度为1 000Δt,电源内阻Rs=50 Ω。

[JP2]算例二:二极管作为重要的半导体器件,它在电子领域的作用不言而喻,本例即仿真二极管的电磁特性。微带线导带宽2.43 mm,长84.66 mm,介质层高0.795 mm,介质介电常数εr=2.2。整个网格空间为220Δx×30Δy×10Δz,各方向空间步长为:Δx=0.423 3 mm,Δy=0.404 6 mm,Δz=0.265 mm,时间步长Δt=0.441 ps,采用二阶Mur吸收边界条件。激励源为电阻电压集总源,Us=10sin(2πft),f=500 MHz。二极管反向饱和电流㊣s=10-6A,热力学温度T=300 K。[JP]

图3 简单混合电路

图4为电阻两端电压随时间变化图,图5为电容两端电压随时间变化图,图6为电感两端电压随时间变化图,图7为二极管电压单网格模型与多网格模型的结果比较。

图4 电阻电压

算例三:本例仿真的是一个由二极管、电阻、电源组成的简单电路——上限限幅器,如图8所示。二极管参数及输入电源参数与例二相同,电阻R=50 Ω,参考电压V㏑EF =3 V。图9为限幅电压V0随时间步变化图。

图5 电容电压[KH-2]

图6 电感电压

图7 二极管电压

图8 上限限幅器

图9 限幅电压随时间变化图

4 结 语

本文由麦克斯韦基本方程出发,推导了电阻、电容、电感、二极管等集总元件的FDTD步进公式。并根据实际情况,推导出了集总元件占多个网格时的公式形式,这大大拓展了FDTD的适应范围。最后本文建模仿真了一个由集总元件组成的简单微带电路——上限限幅器,仿真结果与理论结果相吻合,证明了仿真结果的正确性。

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作者简介

赵海洲 男,1978年出生,陕西户县人,硕士研究生,讲师。研究方向为雷达工程。

李 烟 男,1983年出生,湖南新化人,硕士研究生。研究方向为电磁散射与辐射。