内积H-Z-空间中的共轭Z-算子及其性质
2010-01-19秦宣华杨万必
秦宣华,杨万必
(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)
文献[1]引入了Z-空间(X,+,θ,‖·‖)的概念，文献[2-5]引出了B-Z-空间、共轭Z-空间与共轭Z-算子，文献[6,7]引入了内积Z-空间与内积H-Z-空间 ,文献[8-10]引入了内积H-Z-空间中的正交投影、投影算子和一·五线性泛函的概念；在此基础上，本文提出了内积H-Z-空间中的共轭Z-算子的概念，并将泛函分析学中希尔伯特空间有关共轭Z-算子的性质移植到内积H-Z-空间之中.并讨论内积H-Z-空间中的共轭Z-算子的性质.
定义1 设H为内积H-Z-空间，T∈RZ(H)，若存在T*∈RZ(H),使得(Tx,y)=(x,T*y)(∀x,y∈H)，称T*为T的共轭Z-算子.
注：①由文献[10]知，对于任意连续线性算子T∈Rz(H)，相应于T的共轭算子T*存在；②在文献[8,9]中讨论过内积H-Z-空间中的自共轭算子即满足T*=T的共轭Z-算子;③内积H-Z-空间中的自共轭算子也称为自共轭Z-算子或称为自伴Z-算子.
定理1 设H为内积H-Z-空间，A∈RZ(H),以下各结论等价：
(i)A是自共轭Z-算子;(ii)φ(x,y)=(Ax,y)是对称(Hermite)的.若H是复空间，则以上还等价于：
(ii)φ(x,x)=(Ax,x)为实数(∀x∈H).
现在设H是复空间，证明(iii)⟹(ii).实际上利用极化恒等式可得到:
4φ(x,y)=4(Ax,y)=
(A(x+y),x+y)-(A(x-y),x-y)+i(A(x+iy),x+iy)-i(A(x-iy),x-iy)=
φ(x+y,x+y)-φ(x-y,x-y)=
φ(x+y,x+y)-φ(x-y,x-y)+iφ(x+iy,x+iy)-iφ(x-iy,x-iy).
定理2 设H为内积H-Z-空间，T∈RZ(H)是自共轭Z-算子，则:
(1)
由T是自共轭Z-算子，计算可知：
(T(x+y),x+y)-(T(x-y),x-y)=2(Tx,y)+2(Ty,x)=2(Tx,y)+2(y,Tx)=4Re(Tx,y).
|(Tx,y)|=eiθ(Tx,y)=(T(eiθx),y)(‖eiθx‖2+‖y‖2)=(‖x‖2+‖y‖2).
定理3 设H为内积H-Z-空间，A,B∈RZ(H)，则：
(iii)A,B∈RZ(H)故AB∈RZ(H)，(AB)*存在.∀x,y∈H，(ABx,y)=(Bx,A*y)=(x,B*A*y),故(AB)*=B*A*.
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