Moore-penrose逆交换性的秩方法

黄 旭，刘丁酉

(武汉大学 数学与统计学院，湖北 武汉 430072)

矩阵秩方法是矩阵理论中一种比较独特的方法，它通过讨论一些特定矩阵的秩，可以得到一些相应的秩等式，由此再得到一些有用的结论[1～6].本文研究广义逆的交换性，并得到了一些有益的结果.

1 预备知识

定义1 对于一个m×n的矩阵A，若存在一个n×m的矩阵G，使得：

(i)AGA=A, (ii)GAG=G,

(iii) (AG)T=AG, (iv)(GA)T=GA.

则称G为A的Moore-penrose逆，简称M-P逆，记作A+.

定义2 设A∈Cn×n，矩阵X称为A的群逆，如果A满足rank(A)=rank(A2)且满足如下矩阵方程：(i)AXA=A,(ii)XAX=X,(iii)AX=XA,记A的群逆为A#.

下面将给出一些关于矩阵秩常用的一些结论.

引理1[7]R(B)⊆R(A)⟺AA+B=B⟺r[A,B]=r(A)

(1)

r(AB)=r(A)⟺R(AB)=R(A)

(2)

r(AB)=r(B)⟺R[(AB)*]=R(B*)

(3)

R(A)=R(AA*)=R(AA*A)=R(AA+)=R[(A+)*]

(4)

R(A*)=R(A*A)=R(A*AA*)=R(A+)=R(A+A)

(5)

AA+=A+A⟺R(A)=R(A*) i.e.A是EP矩阵

(6)

R(A1)=R(A2)且R(B1)=R(B2)⟹r[A1,B1]=r[A2,B2]

(7)

其中R(A)表示值域，而r(A)表示矩阵A的秩.

Marsaglia和Styan得到了几个关于分块矩阵秩的等式，即:

引理2[8]设A，B，C，D分别是m×n,m×k,l×n和l×k阶矩阵，则:

r[A,B]=r(A)+r(B-AA+B)

(8)

(9)

若R(B)⊆R(A)且R(C*)⊆R(A*),则:

(10)

由引理2，可以得到下面的一个更实用引理.本文的主要结果将以引理2为基础.

引理3[8]设A，B，C，D分别是m×n,m×k,l×n和l×k阶矩阵，且满足:R(B)⊆R(A),R(C*)⊆R(A*).则:

(11)

若令:

则式(11)可以变成:

(12)

2 主要结论

S.L.Campbell和C D Meyer,Jr利用投影算子的理论得到了(AB)+=B+A+的一些充要条件，下面利用矩阵秩的方法给出证明：

定理1[9]设A∈Cm×n，B∈Cn×p，则下面几个条件是等价的.

(i)BB*A+A=A+ABB*,A*ABB+=BB+A*A,

(ii)R(A*)是BB*的不变子空间且R(B)是AA*的不变子空间,

(iii)A+ABB*A*=BB*A*且BB+A*AB=A*AB.

证明(i)⟺(ii)：由引理3得:

所以:

BB*A+A=A+ABB*⟺r(BB*A+A-A+ABB*)=0⟺r(A*,BB*A*)=

r(A)=r(A*)⟺R(BB*A*)⊆R(A*)⟺BB*R(A*)⊆R(A*).

同理可证：

A*ABB+=BB+A*A⟺R(A*AB)⊆R(B)⟺A*AR(B)⊆R(B).

(ii)⟺(iii)：

所以:

BB*A*=A+ABB*A*⟺r(BB*A*-A+ABB*A*)=0

⟺r(A*,BB*A*)=r(A)⟺R(BB*A*)⊆R(A*)⟺BB*R(A*)=R(A*).

同理可证:

所以:

A*AB=BB+A*AB⟺r(A*AB-BB+A*AB)=0⟺r(BB*,A*AB)-r(B)=0

⟺R(A*AB)⊆R(BB*)=R(B)⟺A*AR(B)⊆R(B) .

由此即证(ii)与(iv)等价.

定理2 若A+=A#,B+=B#,(AB)+=(AB)#,rank(A)=rank(B)=rank(AB),则:(AB)+=B+A+.

证明由Tian lemma 2.1,有:

A+=A#⟺A是EP⟺AA+=A+A⟺R(A)=R(A*).

同理可得:

B+=B#⟺R(B)=R(B*),(AB)+=(AB)#⟺R(AB)=R[(AB)*].

再由式(2)，(3)有:

r(AB)=r(A)⟺R(AB)=R(A)，r(AB)=r(B)⟺R[(AB)*]=R(B*).

综上即知:

R(A)=R(A*)=R(B)=R(B*)=R(AB)=R[(AB)*].

从而:

BB*R(A*)⊆R(B)=R(A*),A*AR(B)⊆R(A*)=R(B).

由定理1，即证(AB)+=B+A+.

定理3[9]若A*ABB*=BB*A*A;则:(AB)+=B+A+.

本文将用矩阵秩的方法给出该结论的一个新的证明.

证明由引理3，有:

因为A*ABB*=BB*A*A,所以:

A*ABB*A*=BB*A*AA*

从而:

所以:BB*A+A=A+ABB*，同理可证:A*ABB+=BB+A*A,

由定理1即证:(AB)+=B+A+.

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