一类两点边值常微分方程的差分方法

王 洁，应玮婷

一类两点边值常微分方程的差分方法

王 洁，应玮婷

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

对一类两点边值常微分方程给出两种差分算法，一种算法具有一阶精度，另一种算法具有二阶精度，两种算法均得到的差分格式的系数矩阵为三对角矩阵，可用追赶法求解。并举数值例子来验证两种算法的精度。

常微分方程；两点边值；差分；追赶法

0 引言

此类型为二阶线性常微分方程，若右端项f（x）=0，则方程为齐次的，否则为非齐次的.对于齐次方程，已有很多的理论分析求通解（见［1］［2］），但对于一般的非齐次方程，求通解存在一定的难度，甚至方程不存在精确解.故本文对这一类型方程给出两种差分算法求其数值解，一种算法具有一阶精度，另一种算法具有二阶精度，得到的差分格式的系数矩阵为三对角矩阵，可用追赶法求解.并举数值例子来验证两种算法的精度.

1 边值问题（1.1）（1.2）数值解的求法

此时（2.1）将二阶导数由二阶中心差商算子近似，误差阶为O（h2），（2.2）将一阶导数分别由一阶向前差商和一阶向后差商算子近似，误差阶为 O（h）（见［3］［4］［5］）.

算法 2：将（1.1）、（1.2）离散得到差分格式为

此时（2.3）、（2.4）的误差阶都为 O（h2）（见［3］）.可见，此算法比算法 1 的精度要高.

上述两种算法得到的系数矩阵为三对角矩阵，故可用追赶法求解（见［3］［4］［5］），并且追赶法具有速度快，易编程的优点.

2 数值例子

其精确解为u（x）=ex.在本节中，用算法1和算法2差分（3.1）、（3.2），得到的系数矩阵是三对角矩阵，故可用追赶法得到数值解，并将数值解与精确解进行比较.

表1 算法1得到的数值解与精确解Table 1 Numerical solutions from 1st algorithm and exact solutions

表2 算法2得到的数值解与精确解Table 2 Numerical solutions from 2nd algorithm and exact solutions

表3 算法1数值解的误差的绝对值和数值解的最大误差Table 3 Absolute value of the error and maxmum error of numerical solutions from 1st algorithm

表4 算法2数值解的误差的绝对值和数值解的最大误差Table 4 Absolute value of the error and maxmum error of numerical solutions from 2nd algorithm

［1］同济大学数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］孙志忠.偏微分方程数值解法［M］.北京：科学出版社，2005.

［4］戴嘉尊，邱建贤.微分方程数值解法［M］.南京：东南大学出版社，2002.

［5］张文生.科学计算中的偏微分方程有限差分法［M］.北京：高等教育出版社，2006.

Two Difference Methods for Solving Ordinary Differential Equations with Two-point Boundary Value Problem

WANG Jie，YING Wei-ting
(School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000，China)

Two difference methods are presented in this article for solving differential equations with boundary.One method is first-order accuracy，another is second-order accuracy.Coefficient matrix is tridiagonal matrix.Thomas method is used to get the solutions.At the same time，numerical example is presented to show the difference methods’accuracy.

ordinary differential equations;two-point boundary value;difference;Thomas method

耿继祥）

O241.82

A

1672-3708（2010）03-0010-03

2010-03-02；

2010-05-08

王 洁（1982- ），女，浙江仙居人，硕士，讲师，主要从事计算数学研究。