关于“函数比单调性判别法”的几何解释

甘 泉

(西安工业大学 数理系,陕西 西安 710032)

在《陕西广播电视大学学报》2007年第4期中,笔者曾发表过一篇题为《函数比单调性判别法》的论文,下面是对该命题的一个回顾。

命题:设f(x)与g(x)均于[a,b)内连续,于(a, b)内可导,f(a)=g(a)=0,并且在(a,b)内g’(x)＞0,如果在(a,b)内单调增(或单调减),则也于(a,b)内单调增(或单调减)。

首先显然该命题等同于这样的命题:若函数f(x)与g(x)均于t∈[a,b)内连续,于区间(a,b)内可导,f(a)=g(a)=0,并且在(a,b)内g’(t)＞0,如果在(a,b)内单调增,则也于(a,b)内单调增。

该命题的几何解释如下:考虑“参数函数”

由于 f(a)=g(a)=0,故曲线以坐标原点为起点;另一方面有,它是曲线上的P(x,y)点与坐标原点连线的斜率,而则为曲线的切线斜率。由于单调增,并且由于=g’(t)＞0,故当t增加时,x也相应地增加,同时也在增加,由此分析可得如上的参数函数曲线是以原点为起点的向上弯曲的凹函数,从而曲线上的点 P(x,y)与坐标原点连线的斜率当t增加时也必然相应地增加,即:当“导数比”在(a, b)内单调增时,其“函数比”也于(a,b)内单调增。以上就是“函数比单调性判别法”的几何解释。