一类二阶半线性椭圆方程边值问题正解的熄灭现象

熊 骏 (长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

一类二阶半线性椭圆方程边值问题正解的熄灭现象

熊 骏 (长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

讨论了一类二阶半线性椭圆方程u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0的第一类边值问题:u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0,u(t0)=u(t1)=0，0lt;t0lt;t1lt;+∞的径向正解的熄灭现象。在假设条件f∈C1(0,+∞)，f(t)/tλ在(0,+∞)上非增，λ∈[0，1)下通过变量代换与构造积分等式得到该问题的径向正解出现熄灭现象的充要条件。

熄灭现象；径向正解；边值问题

对二阶半线性椭圆方程Δu+f(u)=0(x∈Ω，Ω为n≥2维欧氏空间的环域)的正解的存在惟一性讨论有很多结果[1～4]，而对该问题解的性态讨论较少。笔者通过变量代换与构造积分等式得到该问题在f(t)在t=0具有奇性的第一类边值问题径向正解出现熄灭现象的充要条件。

1 问题的提出与基本假设

当考察方程Δu+f(u)=0的径向解时,方程化为:

(1)

(2)

此时方程(1)的第一边值问题：u|x|=r0=u|x|=r1=0 转化为：

u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0u(t0)=u(t1)=0 0lt;t0lt;t1lt;+∝

当n=2时，利用变量代换t=-lnr，方程(1)化为：

u″(t)+θ(t)f(u(t))=0θ(t)=e-2tgt;0

为简洁起见，笔者考察方程(2)的两点边值问题：

u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0u(t0)=u(t1)=0 0lt;t0lt;t1lt;+∞

(3)

的正解的熄灭现象。假设条件为：f∈C1(0,+∞)；f(t)/tλ在(0,+∞)上非增，λ∈[0,1)。

2 主要结论

定理1在如上条件假设下,问题(3)的正解有熄灭现象的充要条件是对任意m∈R+有：

(4)

由方程(2)知当t∈(t0,t1),u(t)为凸函数，在t∈(t0,t*),u′(t)gt;0且单调减少，又由于ρ(t)=((n-2)t)-kgt;0是单调减少函数，所以：

同样在u″(t)+ρ(t)f(u(t))=0两端乘以u′(t),从t*到t积分得：

[1]Fang Z Z.The domain for existence of positive solutions of boundary value problem of Δu+f(u)=0 and quenching phenomenon[J].Appl Math,1987, (3):49～56.

[2]Smollar J A, Wasserman A G.Existence uniqueness and nondegenracy of positive solutions of semi linear elliptic equations[J].Comm Math Phys, 1984, 95(1):129～159.

[3]Garaizar X.Existence of positive radial solutions for semi linear elliptic equations[J].J D E, 1987,70(1):69～92.

[4]熊骏.一类二阶半线性椭圆型方程的径向基态解[J].长江大学学报(自然科学版)，2008，5(2)：N03～04.

[编辑] 洪云飞

O175.25

A

1673-1409(2009)01-N008-02

2008-09-10

熊骏(1967-)，男，1989年大学毕业，硕士，副教授，现主要从事微分方程方面的教学与研究工作。