让学生感悟数学知识的形成之源

杜士连

【摘要】数学源自于生活,生活离不开数学,只有从探索知识的来源中学习,体会“数学家”的创造性愉悦,才能激发学生的创造性思维。在数学课堂教学中,若能恰当地揭示数学知识的形成过程, 展示数学家发现数学规律的思维过程,渗透数学发现的思维方法,就能有效地激发学生学习数学的兴趣,提高他们分析、解决数学问题的能力,进而促进他们思维能力和整体素养的发展。

【关键词】数学、知识来源、探索、思维能力

Let the student feeling become aware mathematics knowledge source of the formation

Du Shilian

【Abstract】Mathematics comes from the life, the life cannot leave mathematics, only then studies from the exploration knowledge's origin, realized “mathematician” the creativity is joyful, can stimulate student's creative thinking. In mathematics classroom instruction, if can promulgate mathematics knowledge appropriately the forming process, demonstrated that the mathematician discovered mathematics rule the thinking process, the seepage mathematics discovery's thought method, can stimulate the student to study mathematics effectively the interest, enhances them to analyze, the solution mathematics question ability, then promotes their power of thought and the overall accomplishment development.

【Key words】Mathematics, the knowledge originate, the exploration, the power of thought

新课程标准强调:数学教学不仅要重视教给学生数学知识,而且还要揭示获取知识的思维过程, 探索知识形成的来源,让学生参与数学知识的发生过程,发展探索性能力,感受"数学家"创造性的愉悦,从而有效地调动起学生学习的积极性,并最终形成学生独立分析问题、解决问题的能力,培养学生探索性思维能力。

著名美国心理学家奥苏贝尔指出“学生认知结构是以教材的知识结构转化而来的。”学生数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构在一定条件下,经学习过程而相互作用的产物。它的形成,须经过一定的学习过程。这个学习过程是新知识同原有认知结构的有关知识经过“同化”或“调整”, 不断形成和发展新的数学认知结构的复杂过程。因此,教学中,我们要立足于教材,对教材进行剖析,加工,重新组织,形成相对完善的知识结构的认知过程,并在这个过程中,既考虑数学知识的科学性,又考虑学生的可接受性,进而,充分再现概念的形成过程,再现定理、公式的发现推证过程、展示例习题的分析解决过程,经过探索知识的来源,努力提高学习的数学思维水平和认知能力,优化学生的数学认知结构。

1.再现概念的形成之源,培养学生的探索性思维能力

传统的知识教学观认为,概念仅仅是思维的基础,因而在概念教学中,往往忽略概念及其定义的形成过程,教学中表现为压缩概念的形成过程,而现代教学观认为,概念既是思维的基础,又是思维的结果。在概念及其定义形成或产生之前,往往存在着生动活泼的思维过程,而这个过程恰恰是进行探索性思维能力的培养,促进素质全面发展的极好素材和契机。

因此,概念教学不应简单给出定义,应恰当地展示其形成的过程,拉长概念教学中被压缩了的“知识链”,让学生积极参与下定义的过程。教学中注意揭示概念的产生背景,展示概念的形成过程,再现“数学家的思维过程”。具体操作程序是:

( 1 )创设问题情境,激发学生探索动机和求知欲望;

(2)揭示概念产生的背景,让学生了解定义的合理性和必要性;

(3)暴露概念的形成过程,让学生综合概括定义的本质属性;

(4)巩固和加深概念理解,让学生在变式和比较中活化思维。

如“圆”的概念的教学,按照以下符合学生认知规律的过程安排教学,就充分展开了学生的思维。①实例——创设情境。引导学生联想生活中“圆”的有关的许多实例把生活中的具体的“圆”逐步引向数学中抽象的“圆”,并借以激发学生的求知欲望和学习兴趣。②演示——揭示过程。 师生合作演示,用一根(定长〉绳子,将一端固定,拉紧另一端,在黑板(平面)上旋转一周,画出一条封闭的曲线。这个画图过程完全呈现给学生,进而让学生充分感知这一过程。③归纳——两种定义。先引导学生概括归纳出“圈”的描述性定义。最后再启发学生修正并运用精确的数学语言定义:圆是平面上到定点的距离等长的点的集合。这里,就充分揭示了“圆”的概念的形成过程, 并让学生积极参与这一过程。

再现概念形成,丰富感知,由于借助实物、教具、图片等,让学生动用眼、耳、口、手等多种感官,通过看、听、说、画等多种形式,共同参与形成某个概念的活动。不仅激发学生学习数学的情趣,而且这种联合传递能强化进入大脑的信息并建立多种联系的通道。

感知概念来源于生活实践,从感知始。中学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡,因此,概念教学必须联系实际,让学生对概念所描述的对象有尽可能多的感知。否则,感知贫乏将使概念的形成缺少形象思维的支持,学生便难于理解,只会机械记忆,不会理解运用。再现概念的形成之源, 这不仅使教学直观生动,又浮现了“数学家的思维过程”,使学生体会“数学家”的发现感,还发展了学生思维,促进学生认知结构的优化,培养了学生的探索性思维能力。

2.再现规律的发现推证之源,培养学生的探索性思维能力

数学教科书的编写,往往把其发展、证明思路的猜想、尝试、分析等都省略去,这时老师就要启发、引导学生去探索,分析当时前人是如何发现、创造的,来诱发学生的创造性。新课程标准认为,那些被压缩隐去的知识发生过程,往往是培养学生探索性思维能力的极好素材或途经。规律课教学应该让学生参与这样一段生动活泼,激发情趣的思维过程,应该贯彻“既教猜想结论,又教发现证明”的教学原则。

著名数学教育家斯托利亚曾高呼:“我们必须先发现定理后再去证明它,我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出证明。”因此,在教学中,应根据教材、学生等实际情况,积极创设探究情境,以充分再现规律的发现过程,证明思路的猜想过程,证明方法的尝试过程,使学生经历知识形成的过程,即提供从事数学活动的机会,让学生在自主探索与合作交流中体验成功喜悦或经验教训,进而形成学生完整合理的认知结构。

比如,“多边形内角和定理”的教学,可作如下设计:

(1)创设问题情境,激发探索欲望,教师:三角形的内角和是多少?四边形的内角和又是多少?后者用何种方法求得的?你能探求一下五边形的内角和吗?

(2)鼓励大胆猜想,指导发现方法。教师:从四边形、五边形内角和的探求方法中,能给你什么启发呢?学生:连对角线的方法转化为三角形。教师:你能否用列表法给出多边形内角和与它们的边数、化归为三角形的个数之间的关系?从中你发现什么规律?你猜一猜n边形内角和有何结论?

(3)再现思维过程,探索论证方法。教师:我们如何验证或推断上面猜想的结论呢?既然多边形问题可转化为三角形问题,那不同的转化方法,就可能产生不同的效果,上面我们是用从一顶点出发连对角线的方法来实现转化目标,还有其它方法吗?由三角形的构成条件知,在已知一边(多边形的边)的情况下,只需再另找一点即可构成三角形,实现转化目标,请问这点该如何定呢?你能给出一般性回答吗?学生:一点与多边形的位置关系有三种:点在多边形边上,点在多边形边内,点在多边形外,在边上又有两种情况:一是顶点,二是非顶点。教师:哪一种对获取证明最简洁? 至此,教材中"在多边形内任取一点"的思维过程得以充分自然的再现。最后,师生共同完成定理的证明过程。

(4)反思探索方法,优化思维过程。教师:从上面的探索过程中,我们发现化归思想起很大作用,但是,又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢?原来,我们选取考察几个具体的多边形,它发现特殊情况下的解决方法,再把它运用到一般问题的解决中,这实质上是一种特殊化思想,它对探求解题策略有着重要的作用,我们再来考察一下式子: n边形内角和=nxI80°-360°,你能设计一个几何图形来解释它吗?对于n边形内角和= (n-1) x 180°-180°,又是怎样的几何解释呢通过这样四个环节的教学,不仅使学生获得了知识,而且更重要的是有效地发展了学生的探索性思维能力。

再现规律的发现与推证过程,这样就大大丰富了学生的认识结构,使学生对规律知识的认识更清晰、稳定,运用更加灵活,使学生感受数学发现的愉悦,学数学的乐趣,提高学生分析、解决数学规律问题能力,促进学生探索思维能力的发展。

3.探索例题、习题的转化之源,培养学生的探索性思维能力

传统教学观认为,数学问题教学就是“题型+方法”的机械模式化的大运动量解题技能的训练,这种教学方式必将导致“题海”,造成学生“听懂但不会做”的现象,带来学生课业负担过重, 知识技能僵化,思维能力发展低层次的后果。新课标数学教学,数学问题解决是数学教学的核心, 学习数学的最终目的就是要学会用数学分析和解决实际问题。由于数学问题和现实问题大多是纷繁复杂,形式多变的,仅靠模式化的"解题套路"的训练是难以应付的,唯有教给学生解决问题的思考方法、策略,才是达到上述目的的最佳途径。这就是探究知识的转化之源。比如习题“已知梯形ABCD, AD∥BC,对角线AC=8, BD=6,上底AD=3,底为BC=7,求梯形ABCD的面积?”同学们思考如何去转化求解呢?师分析:这一问题,要获取解决方法,首先需要探索宏观解题策略,而在探索解题策略的思维活动中,化归思想的指导将思维定向转化成求一个三角形的面积:其次是如何实现转化,即化归方法的选择。由转化目标是三角形,所以平移对角线AC或BD,平移后你能证明△BDE的面积与梯形ABCD面积相等吗?这个△BDE有什么特点呢?显然满足勾股定理,从而达到求这个梯形面积的目的。

通过问题的变式教学,尤其是让学生探索解题方法的活动,使其真正认识到求解该问题的实质是等积变换,即要在保持面积不变的情形下实现目标,而化归的手段是“平移梯形的对角线交底边延长线于一点”,作辅助线是为“梯形演变为一个三角形”这个三角形三边也满足直角三角形的转化目标。这样的教学突出了解决问题方法的选择思考探索过程,再现了探索问题的思维过程,有效地避免“题海战术”,减轻了学生的负担,提高了学生的探索性思维和综合解题能力。

数学教育与心理学研究表明:知识是在“探源”中消化、理解、掌握的,能力是在“探源”中培养、发展、提高的,因此,数学教学中,我们应切实重视“探源”教学,优化学生认知结构,增强学生素养。“数学源自于生活,数学应用于生活”。只有这样让学生亲自经历将现实生活中问题抽象成数学模型并进行解释与应用,这样才能得到不同层次的发展。也实现“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;”不同的人在数学中得到不同的发展。

收稿日期:2009-09-12