认清随机事件本质 提高概率教学实效

肖鉴铿

新课标实施以来,统计与概率纳入了小学数学课程。人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》从一年级下册至六年级下册,都安排了统计与概率的内容。其中统计内容居多,涉及概率的有三年级上册、五年级上册、六年级下册。笔者认为,在领悟概率概念的基础上认清随机事件本质,是提高概率教学实效的前提。

一、概率论的基本概念与特点概述

在一定条件下,可能发生也可能不发生的试验结果称为随机事件,简称事件,用A、B、C…表示。随机事件有两个特殊情况,即必然事件(在一定条件下,每次试验都必定发生的事件)和不可能事件(在一定条件下,各次试验都一定不发生的事件),分别记为Ω和Φ。

随机事件在一次试验中是否发生,固然是无法事先肯定的偶然现象,但当进行多次重复试验时,就可以发现其发生的可能性大小的统计规律。具体说来,如果在相同条件下进行n次重复实验,事件A出现了n次,那么事件A在n次试验中出现的频率,/m当n无限增大时呈现稳定性。这一统计规律性表明事件发生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人们主观意志改变的一种客观属性。事件A发生的可能性大小称为事件A的概率,记作P(A)。当试验次数n足够大时,可用事件的频率近似地表示该事件的概率,即P(A)≈m/n。这一定义被称为概率的统计定义。简而言之,这个定义就是“概率是频率的稳定值”。

设一个随机试验(不能事先准确地预言它的结果,而且在相同条件下可以重复进行的试验)只有有限个不同的基本事件ω1,ω2…ωn(基本事件也是一种事件,一般的事件总是由几个基本事件共同组成的),每个基本事件都是等可能的,基本事件的全体记作Ω,称它为基本事件空间。如果事件A由k(k≤n)个不同的基本事件组成,那么规定A的概率为P(A)=k/n。这一定义被称为概率的古典定义。

随机事件的本质特点是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。

按古典概率定义算得的事件A的概率P(A),只是理论上的数值,少量的试验中事件A的频率与之通常会有较大的差异。但当试验次数n足够大时,其频率将在概率P(A)附近摆动。这个事实表明:概率的统计定义与古典定义是相通的、统一的。

二、对教材和教师教学用书中若干瑕疵的分析

1.对概率的统计定义理解有误

概念是理论的基石。小学数学教材中尽管只用“可能性”来代替“概率”,但教师对概率的定义应有清晰、正确的认识和理解。须特别指出的是,教师不能尽信教师教学用书上的表述。

例如,在论及抛硬币活动的有关问题时,人民教育出版社出版的五年级上册《教师教学用书》第173页有如下表述:“当试验的次数增大时,正面朝上的频率和反面朝上的频率都越来越逼近1/2。这实际上就是概率的统计定义思想。”与概率的统计定义比较,可明显看出这一表述中的错误。事实上,频率“呈现稳定性”只是说,随着试验次数n的增大,频率将会在某个常数附近摆动,并不意味着频率向这个常数“越来越逼近”。举个简单的例子,某人在做抛硬币试验时,很可能第一次是正面朝上,第二次是反面朝上。这时正面朝上的频率和反面朝上的频率就已经都是1/2。但随着n从2增大到3,这两个事件的频率必定有一个是2/3,而另一个是1/3,这能算是“越来越逼近1/2”吗?

再如,五年级上册教材第102页练习二十一第1题为:“桌上摆着9张卡片,分别写着1~9各数。如果摸到单数小明赢,如果摸到双数小芳赢。(1)这个游戏公平吗?(2)小芳一定会输吗?(3)你能设计一个公平的规则吗?”

由于1~9这9个数中有5个奇数、4个偶数,所以小芳赢的概率只有4/9,而输的概率却为5/9,游戏显然有失公平。可是,五年级上册《教师教学用书》第177页中对此题的解答作了如下建议:“虽然游戏规则对小芳不利,但是在一次或有限次试验中,小芳却不一定会输。因为这里的5/9和4/9都是一个理论值,是在大量重复试验下抽到单数和双数的频率的极限。”

这段表述中有两处错误:

其一,对“有限”的理解有误。“有限”是相对于“无限”而言的,“有限次”并非只表示“少数几次”。“有限”也可以表示很多,如1万次、1亿次、1万亿次……只要次数是一个确定的常数,都可称为“有限次”。所以只能说“在一次或少数几次的试验中,小芳不一定输”,而不能说“在有限次试验中,小芳不一定会输”。因为当试验进行了1万次或1亿次时,规律应能显现:小芳在总体上必输无疑。

其二,对概率的统计定义的理解有误。概率并非“频率的极限”。为弄清其中的道理,我们不妨把进行了n次试验时,事件A出现的频率记为xn,x1,x2,x3…xn…就组成一个无穷数列xn。如果认定xn以概率P(A)为极限,就可写成“xn=P(A)”。而按照数列极限的“?着-N”定义,这个式子就要等价于以下表述:“对于每一个预先给定的无论怎么小的正数?着,总存在一个正整数N,使得对于大于N的一切正整数n,都有xn-P(A)< ?着。”而事实上,我们是找不到这样的N的。原因很简单,当n无限增大时,频率只是呈现出稳定性,而不是向概率P(A)无限接近。

综上所述,无论是“频率越来越逼近概率”还是“概率是频率的极限”,都是对频率与概率关系的错误认识,是对概率的统计定义的错误理解。

2.对随机事件的本质认识不清

随机事件的本质属性是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。教师在教学中应以通俗的语言、形象的描绘向学生传播这一基本思想。令人遗憾的是,由于教材和教师教学用书中存在不少瑕疵,导致了教师对随机事件的本质属性认识不到位。

(1)三年级上册教材第108页练习二十四第6题:“全班每人掷一次(硬币),正面朝上的有人,反面朝上的有人。”此题的编排意图是什么?如果说是为了让学生明白总会出现“正面朝上”或“反面朝上”两种结果的话,那笔者以为学生对此早有体验,实无必要。难道是为了验证这两个随机事件的概率都是1/2?带着这个问题,笔者查阅了三年级上册《教师教学用书》。该书第163页写道:“让全班一起掷一次,是为了使试验次数足够多以减少误差。由于实验结果与理论概率存在的差异,也可能得不到预期的结果,可以再让学生掷几次,增加试验的总次数,尽量使实验结果接近理论概率。”果不其然,只可惜把问题想得太简单了!

历史上不少数学家都进行过大量的抛币试验,而教师教学用书却认为“让全班一起掷一次”试验次就“足够多”了,科学性方面显然有所缺失。其实,即或“再让学生掷几次”也算不上“足够多”,很难达到“使实验结果接近理论概率”的目标。

(2)三年级上册教材第107页第5题如下:下表是从纸袋中摸20次的结果(摸出一个棋子后再放回去)。纸袋里的黄棋子多还是红棋子多?

此题是要学生根据频率反推出纸袋中两种棋子的多少。只试验了20次,凭什么来推断?推断“红棋子多”固然有道理,但有可能两种棋子同样多,也有可能黄棋子比红棋子更多。在试验次数较少的情况下,这种“倒挂”的现象完全有可能发生。

(3)五年级上册教材第100页练习二十第1题:“正方体的各面分别写着1、2、3、4、5、6,掷出每个数的可能性都是……”五年级上册教师教学用书第175页对此题的教学作了如下建议:“第一题因为正方体各部分很均匀和规则,所以在投掷后6个面朝上的可能性相等,都是1/6。教学时可让学生先说说自己的看法,再让他们动手试验。最好多投几次,并作好记录,以发现其中的概率规律。”

笔者认为,如果真的要让学生“发现其中的概率规律”,就不能仅仅建议“最好多投几次”,而应要求学生“必须投掷多次”。否则,只让学生试验个百十来次,还不如不做。因为不做学生还信,做后学生反而不信,岂不是自找麻烦?

三、对小学概率教学的几点建议

笔者不揣浅陋,愿就如何提高小学概率教学实效提几点建议,供同仁参考。

1.要向学生传播概率论的基本思想

在教学中,教师要着重向学生传播以下基本思想:

(1)大千世界,确定性事件毕竟只是少数,而随机事件却大量存在。随机事件的普遍性决定了概率论应用的广泛性。

(2)等可能性来自事物天然的对称性。硬币和骰子质地均匀、构造对称,转盘上各扇形面积相等都是这种对称性的表现。

(3)对等可能事件,可按其对称性算出其概率,这种算法虽说只是推理的结果,但其合理性与正确性已被前人通过大量试验的统计所验证。这也说明了“实践是检验真理的唯一标准”。

(4)随机事件的特点是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。这就表明“偶然中寓有必然”,这就是对立统一的辩证思想。

2.不要轻易让学生通过动手操作试验验证概率

对于古典概率的数值,只要向学生说明其合理性即可,不要轻易让学生通过动手操作试验去验证。因为次数多了,时间不够;次数少了,又往往事与愿违。教师应灵活处理教材中的相关例题和习题。在学生按教材的安排去尝试做验证性的试验前,教师应预先告知他们:只做少量的试验,结果未必理想,这正是随机事件偶然性的表现,不必感到奇怪。要想结果比较理想,应当在课外去完成大量的试验,次数通常不应少于1 000次,而且多多益善。

3.允许学生对一些问题有自己的独立见解

概率论研究的对象是随机事件。随机事件的发生与否存在着诸多偶然性因素。不同的人、不同的视角往往会得出不同的看法,因此,应当允许学生在思考时有自己的见解。

某校六年级曾出过下面的测试题:“学校举行乒乓球比赛,在决赛前公布了参加决赛的两个同学的资料(如下表)。

(1)决赛中( )获胜的可能性大。

(2)如果学校要推选1个选手参加校际比赛,应该推荐( )比较合适。

大多数学生在第一个括号里填“小明”,在第二个括号里填“小强”。但几个数学成绩一贯拔尖的学生都不约而同地在两处都填了“不确定”三个字。这件事在教师中引起了争议:有的教师认为这几个学生是“别出心裁”,也有的教师认为应当尊重学生的意见。笔者也持后一种态度。就按(1)小题而言,莫说这两人过去的成绩不相上下,即便是水平相差较大,决赛的胜负仍然难以预料,因为以弱胜强之事在诸多体育比赛中屡见不鲜。至于第(2)小题,依我愚见,推荐谁都不合适。因为体育比赛应当崇尚公平竞争、“更高、更快、更强”,任何诸如民主推荐、长官圈定之类的做法,都是与奥林匹克精神背道而驰的。

三年级上册教材第108页练习二十四第1题,要求对“花是香的”“月亮绕着地球转”“石狮子在天上飞”3个事件用“一定”“不可能”“可能”进行选择填空。笔者认为,除“月亮绕着地球转”应填“一定”外,其余两个事件均应填“可能”。理由很简单:花儿品种繁多,其中一种名为“尸臭花”不仅没有香味,反而其臭无比;而当龙卷风袭来时 ,“石狮子在天上飞”的奇景也未必不可能出现。(作者单位:江西省南昌师范高等专科学校)

作者简介:全国优秀教师、江西省劳动模范、江西省特级教师,自1994年10月起享受国务院特殊津贴,江西省教育学会小学数学教学专业委员会副理事长,江西省教育厅中小学教材审查委员会成员。在全国四十多种报刊上发表论文四百余篇,出版了《怎样上好小学数学课》《小学教坛漫思录》等专著。

□责任编辑 邓园生