浅析相似三角形的证明

臧枫叶

相似三角形部分是初中几何内容的重要组成部分,并且它的应用也贯穿了初三几何知识的始终,应用它可以解决许多几何问题,比如证角相等、线段相等、线段成比例，求线段的比等知识。因此，学好这部分内容对以后解决问题至关重要。

我在多年的教学中，经过长期的摸索、实践，认为学好这部分内容的关键是寻找所需的相似三角形，也在实践中总结也了几条证相似三角形的方法。下面就如何寻找相似三角形谈自己的几点看法，供大家商榷。

一、三点定位法

所谓“三点定位法”，就是根据要证线段的比例式，观察其两个比的两个前项和后项是否分别为同一个三角形的两边;或第一个比的前、后项与第二个比的前、后项是否分别为同一个三角形的两边，确定需证的相似三角形。

例1．已知，如图，Rt△ABC中,CD 是斜边上的高,求证CD²﹦AD•DB

分析:从待证式入手,欲证 CD²﹦AD•DB， 先化成例式, 即 , 第一个比中的前后两项CD、AD中的三点构成△ADC；第二个比中的前后两项DB、CD中的三点构成△CDB,需证△ ADC∽CDB,由Rt△ABC可证∠A﹢∠B﹦90°;CD是高,可证Rr△ACD中∠ACD﹢∠A﹦90°. 所以,∠ACD﹦∠B, 加上两个直角,故可证△ADC ∽△CDB,从而命题得证.

二、 等线段代换法

如果所证的比例式中的四条线段不在两个相似三角形中，而图中又隐含有相等线段（如等腰三角形、正方形、中点、中垂线、同圆半径等图形），常可考虑等线段代换。

例2．如图，△PQR是等边三角形,∠APB﹦120°,求证AQ•RB﹦QR²

分析:欲证AQ•RB﹦QR²,化成比例式 ,而A、B、Q、R四点共线，不构成三角形，而已知条件中△PAR为等边三角形，所以知PQ﹦PR﹦QR,这样比例式可变为了 ,故可证△APQ∽△PBR.而从等边△PQR可知∠PQR﹦∠PRQ﹦60°,即∠AQP﹦∠PRB﹦120°,而条件中有∠APB﹦120°,加上∠A为公共角,故可证△APQ∽△PBR, 故命题得证.

三、等积代换法

如果所证比例式中的四条线段不在两个相似三角形中，而图中又含有等积式的基本图形（如相交弦定理、切割线定理等图形）通常可以考虑等积式代换。

例3．已知，如图⊙O和⊙O′都经过点A和B,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q、M，交AB的延长线于N,求证PN²﹦NM•NQ

分析:从待证式PN²﹦NM•NQ入手,三条线段在同一直线上,不构成三角形,故可从MN•NQ着手,从图上可以看出,NQ和NA为⊙O′的两条割线,由此可知MN•NQ﹦NB•NA,故待证式换成PN²﹦NB•NA,即,由上面的“三点定位法”可知，需证△PNB∽△ANP,故可连PB、PA，从条件NP为⊙O的切线可知，∠NPB﹦∠NAP，加上∠ANP=∠NAP，故△PNB∽△ANP，所以命题得证.

四、等比例代换

如果所证比例式中的四条线段不在两个相似三角形中，而应用等线段代换、等积代换又难以解决，则可考虑等比代换。

例4．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE=EC，连DE，延长交AB的延长线于F,求证;AB•AF=AC•DF.

分析:要证AB•AF=AC•DF,即证,须证△ABC∽△DAF,从图形结合条件判定是不可能的(△ABC是直角三角形,△DAF显然不是直角三角形),因此可考虑等比代换,从 入手,易证△ABC∽△DBA,知 ,需证 ,变为证△DAF∽△FBD,而E是AC的中点,AD⊥BC,∠BAC=90°,所以∠FAD=∠C,∠EDC=∠FDB,又∠F为公共角,故△FDA∽△FDB.

等比代换通常通过平行线转换比,或通过两对三角形相似寻找中间比达到目的.

经过多年的实践,学生利用我所总结的四条结论解决相关的问题,觉得遇到问题有处入手了,解决问题的思路宽了,解题容易了.这样不仅激发了学生的学习兴趣,增强了自信心,而且提高了学生的解题能力，可以说在教学中起到了事半功倍的效果。

（河北省宣化县贾家营兴华中学）