如何求数列的通项公式

王秀荣

数列是高中数学的重要内容之一,是初等数学与高等数学的一个重要衔接｡而事列的通项公式则是研究数列性质的最佳载体,反应数列每一项的共性特征｡在解题过程中,一旦数列的通项公式知道了,就能顺利地解决其单调性,不等量最值求和问题,数列问题特别是数列的通项公式是历年高考的重点,也是学生学习的难点,笔者结合多年的教学经验,浅谈如何帮助学生突破难点,有效掌握这一内容,现将求数列通项公式的几种常用方法总结如下

1.观察法

根据数列的前n项的变化规律观察归纳出数列通项公式

例1.根据下列数列的前n项,写出数列的一个通项公式

(1)1,1,57,715,931…

(2) 2, 22, 222, 2222…

(3) 3, 0, -3, 0, 3…

解:(1)数列为11,3,57,715,931…

a璶=2n-12琻-1(n∈N+)

(2)a璶= 29(10琻-1)(n∈N+)

(3) 所求数列转化为1, 0, -1, 0, 1 的通项,这恰好是“五点法”作三角函数的图像值,所以a璶=3sinn2

2.已知数列前n项和求数列的通项

例2.已知数列前n项和S璶=3+2琻,求数列通项公式

解:当n≥2时a璶=S璶-S﹏-1=3+2璶-(3+2﹏-1)

a璶= 2琻-2﹏-1 = 2×2﹏-1-2﹏-1 =2﹏-1,

S1=3+2=5a1=1

a璶 =5n=12﹏-1猲≥2

3.累加法

对于形如a1=a a﹏+1-a璶=f(n)型的递推公式,求通项公式

(1)若f(n)是关于n的一次函数,累加后化为等差数列

(2)若f(n)是关于n的二次函数,累加后分组求和

(3)若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比求和

(4)若f(n)是关于n的分式函数,累加后可列项求和

例3.数列{a璶}满足a﹏+1=a璶+12琻,a1= 2求a璶

解:a﹏+1-a璶=12琻

a2-a1=12

a3-a2=122

………..

a璶-a﹏-1=12﹏-1

累加得: a璶-a1=12+122+…+12﹏-1=1 -12﹏-1

a璶 = a1 + 1-12﹏-1=2+1-12﹏-1=3-12﹏-1

4.累乘法

对于形如a﹏+1猘璶=f(n)型的递推公式, 求通项公式

(1)当a﹏+1猘璶=q(q≠o) 为等比数列

(2)当a﹏+1猘璶=f(n)时用累乘法

例4.已知数列{a璶}满a1=1, a璶 =a1 +2a2 +3a3+…+ (n-1)a璶-1

则数列的通项公式a璶=________(2004全国数学高考试题)

解:由条件易知a2=1

当n≥2时 a璶= a1+ 2a2 + 3a3 +…+ (n-1)a璶-1(1)

a璶+1= a1+ 2a2 + 3a3+…+ (n-1)a﹏-1 + na璶(2)

(2)-(1)得

a﹏+1 -a璶 =na璶

a﹏+1=(n+1)a璶

a璶=a璶a﹏-1.a﹏-1猘﹏-2.a﹏-2猘﹏-3…a3a2.a2

= n (n-1) (n-2)… 3×1

=n!/2

a璶=1n=1

n!/2n≥2

5. 待定系数法

即将数列的递推公式运算变形后,运用整体代换方法转化为等差(比)数列,再求出数列的通项公式

例5.设a1=5, a﹏+1=2a璶+3 ,求a璶

解:a璶+1 =2a璶+3

a﹏+1+3 =2(a璶+3)

所以数列{ a璶+3}是首项为a1+3=8, 公比为 2 等比数列.

a璶 + 3 =8×2﹏-1

a璶 = 2﹏+2 - 3

评注:在数列中,许多题目都是以递推公式形式给出,要研究其通项公式必须对递推公式变形a﹏+1- a璶= f(n) ,a﹏+1猘璶=f(n), a﹏+1 = pa璶+q 这几种形式,再求其通项公式｡

6.其他几种特殊类型求通项公式的方法

(1)x﹏+2 = px﹏+1+qx璶 型,其中p+q=1 求x璶

例6.已知a1=0, a2=1 ,a璶=1/2(a﹏-1+a﹏-2) (n≥3)

求通项公式

解:a璶 = 1/2(a﹏-1+a﹏-2)

a﹏-1= 1/2(a﹏-2+a﹏-3)

a﹏-2=1/2(a﹏-3+a﹏-4)

………………….

a4 =1/2(a3+a2)

a3 =1/2(a2+a1)

累加得a璶+ a﹏-1=1/2 a﹏-1+a2

a璶=(-1/2)a﹏-1+1

a璶=(-2/3)(-1/2)﹏-1+2/3

例7.已知数列{an}满足 a﹏+1 =2a璶3 ,a1=2 ,

求a璶

解: a﹏+1=2an3

log2a﹏+1=log22a璶3=1+3log2a璶

log2a﹏+1+12=3(log2a璶+12)

{ log2a璶+12}是以log2a1+12=1为首项,3为公比等比数列

即log2a璶+12=1×3﹏-1

log2a璶=3﹏-1-12

a璶=23﹏-1-12

以上是我对求数列通项公式的一点经验,从上面解题中看出都要转化成等差等比数列,由历年的高考题不难看出等差,等比数列是2类最基本的数列,是考察的重点,在教学中必须加强对等差等比数列基本概念和性质的讲解与练习,重点加强对数学思想方法的落实,以便更好地掌握这块内容｡

收稿日期:2009-01-13