新课程背景下学生矢量观的有效建构

赵顺法

摘要：本文针对高中学生在矢量学习中存在的问题，探讨了在新课程学习中如何有效构建学生科学矢量观的问题，并尝试进行了分层递进的系统性教学设计，对学生学习中与矢量相关的疑难问题进行了分析和归纳，最后对教科书如何进一步加强矢量教学提出了编写建议。

关键词：矢量；矢量教学；科学矢量观；建构

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2009)6(S)-0027-5

1 问题提出

从初中进入高中，学生在物理学习中面临着许多思维方式的转变，其中物理量的矢量性和物理规律的矢量性是学生学习和应用物理知识解决问题中较难掌握的重要转变之一。因此，在高中物理教学中“矢量”的教学成了众多物理教师公认的重点和难点。

教学调查中发现，高中物理的“矢量概念”、“矢量运算法则”及“矢量方程的运用”都成了部分学生在高中物理学习中的障碍。这些障碍体现在：对矢量的方向及矢量正负意义的理解模糊；对矢量变化量的方向理解错误和矢量合成、分解法则的运用不灵活；对矢量方程的应用不规范及将矢量方程运算与标量方程运算相混淆等。

2 以物理概念和物理规律的学习为载体，构建学生科学的矢量观

2.1 在“位移”的教学中，引入矢量的初步概念和一维矢量的图解运算

在“位移”一节中，新课标教科书（人教版）通过从初位置到末位置的有向线段来表示物体(质点)的位置变化即位移，从而引出“像位移这样既有大小又有方向的物理量叫做矢量”，得出了矢量的初步概念。

教科书指出矢量相加与标量相加遵从不同的法则，但此处并没有明确告知，而是通过“思考与讨论”栏目中一位同学在操场上先向北走、再向东走的实例让学生总结出矢量相加的法则。这对刚接触到矢量又没有数学向量基础的学生来说是有较大难度的。接着，教科书介绍了直线运动的位置和位移，指出直线运动物体在数轴上的末位置坐标x₂与初位置坐标x₁之差，即坐标的变化量(x=x₂-x₁)就表示物体的位移。教材对直线运动位移的介绍过于简单，也没有涉及到直线上矢量的运算，不利于学生深入理解矢量及一维矢量的运算知识。

在本节“位移”的教学中，学生除了要了解矢量的初步概念外，还应该通过直线运动的位置和位移的学习，让学生了解一维矢量的运算知识，但不要求学生知道矢量相加的一般法则。这样的设计既考虑到了学生已有的知识水平，也符合学生对矢量知识从简单到复杂的认知过程，更为后面速度和加速度等概念的学习打下基础。教学内容设计如下：

(1)直线上两个矢量的相加方法：如图1甲所示，两个矢量x₁和x₂分别代表沿直线前进的两段位移(AB和BC)，则从A指向C的有向线段x(图1甲中虚线)就表示这两个位移的矢量和，称为合位移。

可见，两个矢量相加时，将它们的头尾连接起来，合矢量总是从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点。当两矢量方向相反时，其合成规律相同(图1乙所示)。

(2)一维坐标系中的位置表示法：在日常用语中，位置是指一个地方；但在物理学中，位置x可认为是一个矢量，它的尾端在坐标系的原点，它的箭头端就是物体所处的这个地方。图2甲所示的是A位置矢量，它反应了物体离开坐标原点的距离和方向，它的方向一般都包含在位置坐标的正负号里。

(3)一维坐标系中的位移表示法：物体在坐标轴上的末位置坐标x₂与初位置坐标x₁之差表示的是物体的位移，即位移等于末位置矢量减去初位置矢量(Δx=x₂-x₁)，如图2乙所示。

(4)直线上两个矢量的相减方法：从上面位移表示法中可以看出，两个矢量相减时，需要将两个矢量画在同一起点上，矢量差就是从减矢量(x₁)的终点指向被减矢量(x₂)终点的有向线段。

上述矢量相减的方法由于从位移表示法中获得，学生易于接受，从中获得的矢量图解方法也为后面其它矢量变化图示方法的得出做了重要的方法铺垫。

2.2 在“加速度”和“匀变速直线运动规律”的教学中，强化一维矢量变化量及矢量正负的理解

新课标教科书在研究“描述物体运动速度变化快慢”的特征时，在引入了加速度概念和得出其定义式之后，接着用速度变化矢量图讨论了加速度方向与速度方向的关系。教学中发现，由于该矢量图对矢量知识的要求较高，前面又没有矢量方法的铺垫，认知上跨越较大，学生理解起来较为困难。

在有了上述的位移教学中矢量图解方法的渗透之后，我们对加速度的矢量观教学可以进行如下的教学设计：

(1)作出运动图，描述质点在相等的时间间隔里运动间距的变化，并作出速度矢量，显示其速度的变化情况，如图3甲所示。

(2)取两个相邻的速度矢量，按上述位置矢量相减求位移的方法，类比得出速度矢量差的图示方法，即可得到该时间间隔内的速度变化量。如图3乙所示，在图中标出了加速度矢量，加速度的方向即速度变化量的方向。

(3)图3和图4显示的是物体做匀变速直线运动可能出现的四种不同情况，分析比较这四种情况后得出：速度矢量和加速度矢量方向相同时，物体处于加速状态，速率增大，反之物体处于减速状态，速率减少；当物体加速度指向正方向时，物体有正加速度，反之有负加速度，但加速度的符号并不能说明物体的速度是增大还是减少。

以上教学设计中用运动图的方法直观显示了加速度矢量，又统一和加深了学生对矢量相减图解方法的理解。由于有了前面矢量方法的铺垫，教学实践表明学生更容易接受。

在匀变速直线运动规律的学习中，学生对匀变速运动公式中矢量的正负号运算极易出错。教学中要经常提醒学生，当运动问题的复杂性增加时，千万要记住建立坐标系并规定正方向，保持所有符号的一致性。不管是位移、速度还是加速度，只要与所选择的正方向相同，它们都是正的，反之就应该用负号标记。而且在整个解答过程中，都应与约定保持一致，以避免将符号搞混。

2.3 在“力的合成与分解”教学中，引入二维矢量的运算法则，建立更加严谨的矢量定义

在“力的合成”教学中，新教科书指出了合力产生的效果与分力的共同效果相同，并通过实验探究得出了二力合成的平行四边形定则。在教学中还应该让学生明确以下内容：

(1)合力即几个分力矢量的合矢量，力的合成即求几个已知力矢量的合矢量。

(2)力的合成不但遵循平行四边形定则，其实前面学过的矢量加法，对于不在同一直线上的矢量也是适用的。如图5所示的两个矢量，平行地移动其中一个力矢量，使两个力矢量的首尾相接，合力就是由第一个矢量起点指向第二个矢量终点的矢量。其实这种把两个矢量首尾相接从而求出合矢量的方法，叫做三角形定则，它与平行四边形定则的实质是一样的。

(3)在学习了矢量的一般运算法则后，可以给矢量下一个更加严谨的定义——既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)的物理量叫做矢量。

(4)力的分解是合成的逆运算，矢量的分解就是求分矢量。力的分解可以根据力的作用效果进行分解，但常用的方法是正交分解法：先建立坐标系，根据问题求解的方便选择x轴和y轴的方向；再将力分别沿平行于x轴和y轴分解为两个分量。

力的合成和分解的教学不但要从等效替代的物理思维角度来理解其物理意义，也要从矢量相加和矢量分解的数学向量运算角度来理解其数学处理方法，这样不但能培养学生对物理知识的理解能力，还能训练学生运用数学方法处理物理问题的能力。

2.4 在“牛顿运动定律的应用”中，强化二维矢量的运算

在“牛顿运动定律的应用”教学中，求物体的合力往往是解题的关键。这里涉及矢量的相加，通过选择坐标系，将矢量分解为它们的x分量和y分量，再分别在x轴和y轴方向上相加或相减分矢量，将求合力转化为矢量的代数加法运算，分别求出x轴和y轴上合矢量的大小和方向，从而将牛顿第二定律分别应用于x方向和y方向。

当物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，合力为零，即力的矢量之和为零。如图6甲所示，一个物体在三个力作用下处于平衡状态，分别平行移动矢量使它们首尾相接，可以看到这三个矢量组成了一个封闭的三角形(如图6乙)，即它们的和为零。从图中还可以看出，这三个力中的任意两个力的合力与余下的那个力大小相等、方向相反。

2.5 在“曲线运动”的教学中，活化矢量的运用

在平抛运动的教学中，通过建立坐标系，将平面上的抛体运动问题分解为两个相互联系的直线上的运动问题，在两个方向上分别应用牛顿运动定律和运动学的规律，再根据要求进行矢量的合成求解。如图7显示了小球在水平方向和竖直方向的速度分量，以及两个分速度合成后抛体的总速度矢量。可以看出，小球在水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动的合成形成了抛体运动的抛物线轨迹。小球平抛运动的速度变化矢量图如图8所示，可见其速度增量即小球在竖直方向的速度分量。

物体在做匀速圆周运动时，物体相对于圆心的位置矢量r的方向不断变化，在如图9甲所示的矢量图中，R₁与R₂相减得到的合矢量就是这段时间间隔内的位移。运动物体的平均速度为ΔrΔt，当时间间隔Δt趋于零时，物体的平均速度就是物体的线速度v=ΔrΔt，速度矢量与位置矢量互成直角。图9乙显示了物体在某一时间间隔前后的速度矢量v1和v2，同理可得两个矢量之差为Δv(如图9丙所示)。物体的加速度a=ΔvΔt，从图示中可见其方向指向圆心，称为向心加速度。比较发现，上述图中的位置矢量三角形和速度矢量三角形是相似三角形(夹角相等)，进而可推导出向心加速度的大小计算公式。

2.6 在“动量守恒定律”和“动量定理”的教学中，深化矢量式的应用

新教科书将动量守恒定律和动量定理后移，放在选修3-5中学习，这降低了学生学习矢量方程的难度，同时也巩固和深化了前面所学的矢量知识。动量的变化量是某一极短过程的末动量与初动量的矢量之差，是矢量。在处理一维问题时，动量的变化量可以用两种方法得到：一是建立坐标系选取正方向，用正、负号表示动量和动量变化的方向；二是作矢量图求解，从初动量终点指向末动量终点的有向线段就是动量的变化量。

动量守恒定律的表达式和动量定理的表达式实际上都是矢量式。用来处理一维问题时，要建立坐标系选定一个正方向，化一维矢量运算为代数运算。动量守恒定律公式中的运算符号均为加号，但速度本身的值却可正、可负，选定一方向为正方向，相反的速度则为负值。

3 通过对与矢量相关问题的分析，建构学生科学的矢量观

3.1 关于标量的说明

只有大小、没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量。它可分为两种：大小总为正值的标量，又称为算术量(如：时间、质量、长度等)；带有正负号的标量，又称为双向标量(如：功、电势、温度，电荷量等)，它是基于该物理量具有两种相反的可能规定的，通常以正负号的形式来表示。

在物理学习中学生容易将某些双向标量与矢量相混淆，我们可根据双向标量中正负号的来历，将其分为以下三种:

(1)基于该物理量的物理意义规定的相对性而得出的双向标量，如：温度、电量、电势等。这种标量在运算时一般须带正负号。

(2)基于某一公式得出的双向标量，如：功(W＝Flcosα)、热量(Q=cmΔT)、瞬时电流(i=i璵sinωt)等。这些量的正负号在运算时一定不能丢掉，否则会得出截然相反的结论。

(3)基于运算的方便，临时规定某一量为双向标量。如：磁通量，讨论穿过某一面积的磁通量或磁通量的变化时，须规定某一侧穿入该面的方向为正方向，则从另一侧穿入该面的磁通量就为负值。

3.2 关于“+”、“-”号的物理意义

数学中表示大于零、小于零的“+”、“-”号，在物理学中往往赋予了许多新的意义，许多学生对物理中的正负号都存在模糊认识。通过上述对矢量和标量的分析，我们不妨将其分为几类：

(1)研究矢量在同一直线上的加减运算，规定某一方向为正方向后，通过在物理量前加上“+”、“-”号从而将矢量转化为代数量运算，“+”、“-”号仅表示该矢量的方向。

(2)由双向标量带来的正负号，其正负代表两种相反的物理意义。有时代表两个相反的方向，如：电流强度和磁通量等物理量的正负表示两个相反的方向；有时表示物理量相对的大小，如重力势能、电势等物理量的正负，其正值总比负值大。

(3)表示物理量的增加还是减少，如：动能增量ΔE璳(ΔE璳=E﹌2-E﹌1)，正值表示该物理量在增加，负值表示该物理量在减少。

(4)公式中带有的加减号，与某一物理量无关，如：ΔE璳=E﹌2-E﹌1中的减号。

4 对有效建构学生科学矢量观的教科书的编写建议

针对新课程教科书，为突破学生学习矢量的思维障碍，我们提出了一些编写建议，仅供参考。

（1）加强对矢量表示符号的标记，给予学生强烈的识记情景。例如：可以对教科书中出现的矢量用黑体表示，使学生在应用物理规律时能及时注意到矢量和标量的区别，对矢量运算和矢量方程能做到眼到、手到、心到，这一做法也与数学教科书中向量的表示法相统一。

（2）教科书在编写“位移”一节内容时，可以将坐标系中物体的位置看作是一个从坐标原点指向物体的矢量(与大学中普通物理相统一)。这样处理后，物体的位移就是位置矢量的变化，从中得出矢量变化量的图解，这为学习速度变化、动量变化等知识起到很好的铺垫。

（3）在物理学习中解决涉及矢量的问题时，学生数学知识的掌握水平往往制约其物理解题能力的提高，所以可以在教科书适当的地方渗透相关的数学矢量运算知识和三角函数知识。虽然有些知识在数学中已经学过，但在物理教科书中插入相应的数学与物理学的链接知识，并有针对性地呈现在教科书正文的周边，将更有助于提高学生运用数学知识处理物理问题的能力。例如：在《力的合成》一节中，可以插入勾股定律、余弦定律和正弦定律等数学知识，为求合力做好数学知识的铺垫；在《力的分解》一节中，可以插入三角函数的定义知识，为力的分解做好数学知识的链接。

（4）可以在教科书附录或其它栏目中较为简单地介绍矢量和标量运算，包括正负号的意义。这些内容即便是结论性的，也会给予学生较为系统的指导，使其对教科书中出现的正负号有一个总体了解，这样学生在解题过程中就会有的放矢，少出差错，一遇到正负号就不再胡乱解题。

（5）教科书对涉及矢量问题或例题的分析求解中，多做一些用矢量图示分析的示范，促使学生学会用矢量图辅助直观理解问题、分析问题、分析物理过程和发现物理规律，养成作矢量图示分析的习惯。如：解运动学问题时作运动量的矢量图示；解动力学问题时作运动量图示和受力分析图示；运用动量定理和动量守恒定律解题时作初、末动量及动量变化图示等，提高学生用矢量分析解决物理问题的能力。

参考文献：

［1］齐泽维茨(美)等著．物理原理与问题(上册)．杭州：浙江教育出版社，2008．8

［2］新课程教科书．物理必修1．北京：人民教育出版社，2006．12

［3］新课程教科书．数学必修4．北京：人民教育出版社，2007．2

(栏目编辑邓 磊)