浅谈新课标下数学开放性问题的教学

林瑞山

一、开放性问题的定义

开放性问题是相对传统封闭问题而言的。数学中的封闭性问题一般指传统教学中条件完备、结论确定的数学问题。而所谓开放性问题是指就问题本身而言，或者条件是不完全确定的，或结论是多样的，甚至没有标准答案，也没有现成的解题模式可用，需要在解的过程中不断完善或增添创设，其结论也是丰富多彩的、非单调的，其解题途径、思路因人而异、灵活多样。比如下面的几个题目：①计算24×75。②边长为12的正方形可以分为几个边长为3的正方形?③1800是哪两个数的乘积?④边长为12的正方形可以分为几个边长为整数的正方形?这里前面两道题都是封闭题，后面两道题且是开放题。

二、开放性问题的特征和分类

开放性问题最突出的特征是：①内容、形式的新颖性；②问题解决的发散性；③教育功能的创新性。开放题的类型大约可分为5类：第一类，条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不是唯一。例如：妈妈买了相同价格的糖，付了40元钱，售货员找给她4元，你知道她买了几盒糖吗?这题中每盒糖的单价没有给出，所以答案是多样的。第二类，结论开放型，即在给定条件下，结论不是唯一的。例如：有一个棱长为55厘米的正方体，将它沿某些棱剪开，有几种展开图?第三类，策略开放型，即思维策略与解题方法不是唯一的。例如：围着火塘一圈一次可以烤10个红薯，烤熟一面要5分钟，烤两面才完全烤熟。现要精选15个红薯需要多长时间烤熟?第四类，综合型，即条件、结论策略中至少有两项是开放的。例如：一个长方形剪去一个角，剩下部分还有几个角?第五类，设计(实践)型，需要用数学进行计划性的预测和规划。例如：暑假到了，小明与两个同学相约，到附近旅游城市(广州、深圳)去3日游，得到了父母的同意，并答应给他们800元钱。父母规定旅游时间不得超过3天、回家的时间不超过晚上10点，再给出两城市际交通的火车、汽车时间表，票价和旅游点的门票，要求学生帮小明设计一个旅游计划，鼓励学生进一步查寻其他资源。

三、开放性问题的教育价值

开放性问题有许多独到的教育价值。首先，它几乎使每一个学生都有解决问题的机会，能通过尝试解决问题去获得一些知识或方法，从而使得“数学教育面向全体学生”这一新教育观念具备了一定的可操作性。其次，它可以引发课堂内的数学交流，使得数学课堂成为真正学生从事数学活动的场所。通过学生之间、师生之间的交流，大大加深对知识的理解。第三，开放性问题有利于因材施教。学生之间的数学知识和能力差异是客观存在的，为了在课堂上尽可能地照顾这种差异，已经有过许多的数学教学实验研究，如采用分层设计练习题的方法，即根据学生的数学知识和能力，设计概念题、基础题、提高题、综合题等等，这样做，教师的工作量大，实际上也难以做到。而开放题由于答案不是唯一的，解答时，有些答案可能容易得到，有些答案却难找到，有些解题者可能是盲目地瞎凑，找到一个算一个，而有些解题者则试图寻找规律，有序地考虑问题，尽可能避免答案的重复和遗漏如此等等，正是开放性题目的这种多层次性，能适应多层次的学生，为因材施教提供了很好的材料。开放性题目还可以促进学生智力因素与非智力因素的发展。因为要想顺利地解出开放性问题，必须对问题进行全方位、多角度的观察、分析，充分揭示问题的本质特征，既要注意力集中，又要记忆力强，想象力丰富，思维敏锐；有些开放性题目要长时间钻研，需要意志力和毅力，从而促进非智力因素的发展。

数学开放性问题教学的核心是培养学生的创造意识和创新能力。激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新教育理念的具体体现。选择数学开放性问题作为一切口，可以促进数学教学的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。

四、开放性问题的教学策略

1。开放性问题的教学要选择好的数学问题

开放性问题的构建主要从两个方面进行：其一，是问题本身的开放而获得新问题。其二，是问题解法的开放而获得新思路。好问题的特征包括问题的条件、结论、所描述的对象给解题者提供广阔的思维空间，使他们有机会经历有意义的数学活动，如观察、猜测、检验、修正、证明、推广等，而且在活动中需要使用基本的、重要的数学知识、数学方法，好问题最好能表现出层次性，使不同的学生都能思考并有所得。为了开发好的开放性问题，可充分利用现有的学习素材，通过自我思考，与同事或学生合作来进行。例如：教学二元一次方程时，可设计题目：“一个二元一次方程的解是x=4且y=5，试写出一个符合要求的二元一次方程。”又如教学旋转对称时，可设计题目：“用多个相同的三角形，设计一个旋转角度为60度的旋转对称图形”。

开放题的教学，也可以从教材上选取相关的习题加以扩展，成为实际生活中的开放题，作专题讨论。初一下学期有这样的一道例题：在甲处劳动的有27人，乙处劳动的有19人，现在另调动20人来支援甲处和乙处，使甲处的人数是乙处人数的2倍，应往甲、乙两处各调多少人?改编为“开放”例题：在甲处劳动的有26人，乙处劳动的有1 9人，现在另有9人在树下休息，你将如何调配，才使甲处的人数是乙处人数的2倍。此时，学生如身临其境的管理者与决策者，都在积极地想办法，他们提出如下的方案：

①19-(26÷2)=6，乙处调走6人到树下，树下的人还是休息。

②26+19+9=54，54÷3=18，乙处调1人到树下，再将树下的10人调去甲处。

③26+19=45，45÷3=18，乙处调1人去甲处。树下的人还是休息。学生习惯于用算术方法考虑问题，能解决问题当然值得赞赏。但教师要引导学生用代数方法来解决，如上述方案③中：如何列方程呢?设乙处调x人去甲处，师生共同分析出：26+x=2(19-x)。进而教师提出一种新的方案(如学生能提出来更好!)

④能否将树下的9人“兵分两路”，一部分人到甲处，另一部分到乙处呢?

解答如下：设从树下调z人到甲处，那么调往的人数9-x，依题意得：26+x=2[19+(9-x)]，解得z=10，于是发现9-z=-1。发现此方程行不通(这也是提醒学生检验的必要性。)

教师趁机提出问题：须调来多少人支援，可使上述方案行得通呢?(即：把9改为别的数字试试来)鼓励学生多尝试和调试，体验由失败到成功的乐趣。他们提出把9改为12、15、30等等都行。教师亦可作分层教学的尝试，让一部分学有余力的学生引入字母a表示树下的人数，探索必须满足的条件，由方程28+z=2[19+(4-z)]，得x=4+2a／3。现在给a取值就减少了盲目性，要为3的倍数。更优秀的学生甚至能得出：a还须不小于12。

2，开放性问题的教学要有效地组织学生进行交流

《课程标准》指出：数学教学，必须通过学生主动的活动，包括观察、描述、操作、猜想、推理、交流和应用等等，让学生亲眼目睹数学过程，身临其境如何“做数学”。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。在教学中充分让学生经历自主做数学的过程，只有通过学生之间，师生之间的交流，通过各种活动，各种观点之间的交锋、思考、交流，才能有目的有意义地建构属于他们自己的知识结构，获得富有成效的学习体验生活。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式。因此开放性题目的教学中，教师应大胆地把时间留给学生，放手让学生讨论。放过之后，也不能忽视收的作用，收就是要在教师的引导下集中学生的智慧，起到相互作用、相互补充、相互提高的作用。如：学校要围一个面积为210平方米的长方形花圃(长、宽都是整数)，请你设计一种方案。教学这一题时，先放手让学生找答案，再由教师、学生一起观察每一种答案与210的关系，发现一般规律。这样的“一放”与“一收”，既重视发挥学生的主动性，又不失教师的主导性。

因此，在开放性问题的教学中，教师必须充分发挥创造性，依据学生的年龄特点、认识特点，设计开放性问题，给学生提供自主探索的机会。让学生有观察、描述、操作、猜想、实验、推理、分析、归纳、交流和应用的过程，理解一个题目是怎样提出来的，一个概念是如何形成的，一个结论是如何探索出来的，以及这结论是如何被应用的。通过这样，从而使学生的创新精神得到培养和落实。