哥德尔与不完备定理

刘　玮

话说皓天从人工智能馆出来后，竟对那个漂亮的机器人服务员心生爱慕，因而被鹏飞善意地嘲笑了一把。

在回办公室的路上，皓天打趣道：“你们做的机器人居然已经达到了这么高的水平——能够和真人谈恋爱了!”

鹏飞不置可否地笑了笑。

“那你们能制造出一个超越你们的机器人，来代替你们进行科学研究吗?”

沉默了一会儿，鹏飞意味深长地问皓天：“还没忘记你梦到的哥德尔王吧!想了解他吗?”

“当然了，我们去人工智能馆不就是为了更好地了解他吗?难道他是搞人工智能开发的?”

“他是一位伟大的数学家，虽然不研究人工智能，却给人工智能设制了限制……唉!他的一生都充满了矛盾!”

“此话怎讲?”

“哥德尔的好友爱因斯坦曾经说过：‘他的工作否定了他的信仰。在我看来，他的信仰又否定了他的生命。”

鹏飞简述了哥德尔的矛盾生涯。哥德尔坚信“一切数学定理系统都是可证的”。开始时，他的工作是为了证明自己的这个信仰，但事与愿违，缜密的逻辑证明并没有给他的信仰增加证据，反而与信仰背离。他只得放弃了证明信仰的企图。1931年，他提出了一个伟大的定理——哥德尔不完备定理。

哥德尔证明：任何无矛盾的自洽的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能在有限的步骤内判定其真假，也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的!这便是闻名于世的不完备定理。

“但是哥德尔却不能在生活中发现‘不完备定理。在生活中他只信赖他的妻子。哥德尔拒绝其他人为他做饭，理由是不能证明这些人是卫生的。后来在他妻子生病住院期间，哥德尔也是同样拒绝他人为他提供生活上的帮助。最后哥德尔饿死在医院里。哥德尔在工作中证明的绝对的理性是不存在的，那么他在生活中却没有放弃追求绝对理性的信仰，所以说他的信仰否定了他的生命。哥德尔的工作是伟大的，而他的一生却不免带有悲剧色彩。”

但皓天还是一脸茫然：“哥德尔的这个定理好像是针对数学的吧，我看不出它与我那个‘生死未决的梦及人工智能有什么联系。”

鹏飞开导他说：“你一定对我们那场报告开始时设计的问题有印象吧，‘这句话是假话是个自我否定的判断，从逻辑上是无法判断到底是真还是假的。”

皓天对判断这类问题的逻辑上的无穷摆动是深有感触的，就像梦中的他被想要处死他的士兵在真理与谬误之神面前来来回回地拖拽!但皓天还是不太清楚：“这是为什么呢?”

“我们来考虑这样一个问题：1-1+1-1+1-1+…=?无穷多次地减1和无穷多次地加1，最终应该等于多少?”

皓天一下子就找出了这个算式的规律：“很明显，等于零!你看，1-1+1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+(1-1)+-…=0。”

“再想一想，如果换一种组合来考虑，可能就不一样了，比如还可以：1-1+1-1+1-1+…=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1。”

“这样的话，应该还有别的答案，如果把正、负1的位置调换一下，1-1+1-1+1-1+…=-1+1-1+1-1+…=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1。”

鹏飞进一步启发：“其实，你可以让这个式子等于任意整数。知道为什么吗?”

皓天想了想：“原因就出在它有无穷多项，无法确定它会在哪一项停止，也就无法确定它等于多少了!”

鹏飞非常肯定地点了点头：“‘无穷也许就是人的思维和智力无法到达的极限吧，在出现‘无穷的地方，总是会出现人们无法确定的悖论。”

皓天的思路被打开了：“我明白了，原来‘这句话是假话就是一个无法停止的判断，就像在梦中我说‘我将被在谬误之神面前处死而被士兵拉来拉去一样无法确定。”

鹏飞进一步开导：“这两个例子为何都会使判断无穷无尽进行下去而无法停止呢?原因是什么?”

皓天想了想：“是因为这两句话都是自指判断吧?自我否定都是自相矛盾的，是必然导致悖论的吧?”

“是的，要想对这样的命题作个判断，每作一次判断都必须跳到圈外，而每次跳跃都因为被否定而不能停止，判断者只好永不休止地判断下去。每一个思索‘我是谁?的人都要无穷退后。”鹏飞接着说，“如果给一台计算机下一道命令：‘计算机永远不能打印出这个陈述!你想这台计算机该怎么办?让它打印这样的判断，计算机会通过程序不停地判断是打印呢还是不扣印，机器便无法停机了。”

皓天早想插话了：“就像有人问相信存在万能的上帝的人‘上帝能制造出他自己搬不动的石头吗一样!”

“这样的问题已经被哥德尔用严密的数学证明过了。”鹏飞舒了口气。

“所有那些无法停机的判断对于计算机来讲，都是一个无底的深渊，有人把它比作‘逻辑黑洞，计算机一旦掉进去就出不来了。但人是不会那么傻地一直往下掉的，看!你现在就不再思考上面的问题了，哥德尔定理告诉被们：所谓的理性只不过是建立在有意识或无意识的假设基础上的逻辑游戏。所以说，人的心智在某种情况下要比纯理性思维广阔得多?”

皓天哈哈一笑：“别说了，说了半天，你只不过想强调无法制造出超过自己的机器人而已!可是哥德尔定理对人脑为何不成立?”

“人脑仍然在进化之中，它是不自洽的，也是不完备的啦!”