两道相似物理竞赛试题对比分析

周智良　秦　敏

我们来看看两道高中物理竞赛试题：

【题1】 （第16届复赛题）用直径是1 mm的超导材料制成的导线做成一个半径是5 cm的圆环，圆环处于超导状态，环内电流为100 A，经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于10-6 A，试估算该超导材料电阻率数量级的上限。

提示：半径为r的圆环中通以电流I后，圆环中心的磁感应强度为B=（μ0=4π×10－7N•A－2），式中B、I、r各量均用国际单位。

【题2】（第25届复赛题）零电阻是超导体的一个基本特性，但在确认这一事实时受到试验测量精确度的限制。为克服这一困难，最著名的试验是长时间监测浸泡在液态氦（温度T=4.2 K）中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度Tc=7.19 K）中电流的变化。设铅丝粗细均匀，初始时通有I=100 A的电流，电流检测仪器的精度为ΔI=1.0 mA，在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大。设铅中参与导电的电子数密度n=8.00×1020，已知电子质量m=9.11×10-31 kg，基本电荷e=1.60×10-19 C。（采用的估算方法必须利用本题所给出的有关数据）

【分析】 这两个题所给已知条件都很少，但还要求求超导体的电阻率。超导体还有电阻率？就只能认为题中的超导体并不是绝对意义超导，而是有很小电阻的电路。题1已给出超导材料的横截面积和长度，要求电阻率的上限只需求出圆环电阻的上限值；题2中虽没有给出横截面积和长度，但可以假设出导线的截面积和长度，最后也能通过表示的电阻而求出电阻率。

两个题中间目的就是要求出超导线的电阻。求电阻的方法一般有两个途径，欧姆定律或焦耳定律。题1所给已知条件中，给出磁感应强度的计算公式，若电流有微量变化，则磁感应强度也有微量变化，将产生感应电动势。题1就可以认为就是电流变化产生的感应电动势维持超导线中的电流持续形成，本题就可以通过求感应电动势来求出电阻；题2中没有给出磁感应强度的计算公式，但给出了电子质量，电子数密度，可以联想到电流强度变小是电子平均速度变小，电流通过有电阻电线而产生的热量就是电子的动能转化而来。本题就是通过计算全部电子的动能减少量而求出焦耳热，再通过焦耳热求出导线的电阻。

下面我们根据这两个思路求解这两个题：

【题1解】 圆环中心磁感应强度

B=①

整个圆环内的磁感强度可以视为等于圆环中心处的磁感强度。电流变化产生的感应电动势的大小

E==πr②

圆环电阻R==③

又≤10－6安培／年≈3×10－14安培／秒

将r=0.05 m，μ=4π×10－7 N•A－2，I＝100 A 代入③得

R≤3×10－23 Ω④

超导体电阻率ρ=R=

R= ⑤

上式中ｄ为导线直径，将数据代入，得

ρ≤7.5×10－29 Ω•m

【题2解】如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间t内电流通过线圈因发热而损失的能量为

ΔE=I2Rt①

以ρ表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有

R=ρ②

电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有

I=Svne ③

所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度ΔI，即电流变化的上限为ΔI=1.0 mA。由于导电电子的数密度n是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为v-Δv，对应的电流变化

ΔI=neSΔv④

导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为

ΔEk=lSnmv2－m（v－Δv）2

≈lSnmvΔv ⑤

由于ΔI<

ΔEk=⑥

铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即

ΔEk=ΔE ⑦

由①、②、⑥、⑦式解得

ρ= ⑧

式中

t=365×24×3 600 s=3.15×107 s ⑨

在⑧式中代入有关数据得

ρ=1.4×10－26 Ω•m⑩

所以电阻率为零的结论在这一实验中只能认定到

ρ≤1.4×10－26 Ω•m?輥?輯?訛

【解后思考】 两题都不是完全意义的超导，其本质都是由于自感形成电源，由于电路中只要有很小电阻，就能维持强电流几乎不变。两题都是从电流的变化为入手点，寻找要求电阻率与哪些量间存在关系，从而达到求解的目的。如果是纯超导体，当超导体组成的回路进入磁场的面积变化或所处的磁场感应强度发生变化时，超导体中电流会有变化。但超导体没有电阻，回路总电动势为0，故有超导体内电流变化产生的自感电动势与回路面积变化对应的动生电动势或磁感强度变化对应的感生电动势相互抵消。

从解题方法中我们得到的总结就是：要利用题中的已知条件寻求解决问题的突破口，要充分联系典型物理模型之间的联系与区别，具体问题具体分析，关键在于类比联想题设的内在联系，由此及彼，驱动思维跃迁，茅塞顿开，问题迎刃而解。