电磁导轨问题解题规律

宋连义

电磁导轨问题是高考命题的热点问题，在2008年的高考试卷中，宁夏理综卷16题、广东物理卷18题、山东理综卷22题、全国Ⅱ理综卷24题、上海物理卷24题、江苏物理卷15题均与此有关，这些考题以计算题居多，分值较高，考查内容涉及力学、功能关系、电磁学等一系列基本概念、基本规律和科学思维方法。分清不同性质的导轨，熟悉各种导轨中导体的运动性质、能量转化特点和极值规律，对于领会基本概念，掌握基本规律，提高科学思维和综合分析能力，顺利解决高考中的压轴题具有重要的意义。

一、发电式导轨的基本特点和规律

如图1所示，间距为l的平行导轨与电阻R相连，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的导体从静止开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因数为μ。

图1

图2

1. 电路特点：导体为发电边，与电源等效。当导体的速度为v时，其中的电动势为E=Blv。

2. 安培力的特点：安培力为运动阻力，并随速度按正比规律增大。

F=BIl=Bl=∝v

3. 加速度特点：加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速运动。

a=

4. 两个极值的规律

当v=0时，FB=0，加速度最大为am=g（sinθ－μcosθ）

当a=0时，∑F=0，速度最大。根据平衡条件有

mgsinθ=μmgcosθ+

所以，最大速度为

v=

5. 匀速运动时能量转化规律

当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力功率（即电功率）和摩擦力功率之和，并均达到最大值。

P=P+PP=mgvsinθP=Fv=IE==I（R+r）P=μmgvcosθ

当μ=0时，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于电功率，这是发电导轨在匀速运动过程中，最基本的能量转化和守恒规律。

mgvsinθ=Fv=IE==I（R+r）

【例1】 （2008•上海）如图3所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，平行轨道足够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处的速度大小为v2。

（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。

（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R2上的电功率P2。

（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v3，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式。

图3

【解析】 （1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生感应电动势，导体棒ab从A下落r/2时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得mg－BIl＝ma，式中l＝r

I=

R＝＝4R

由以上各式可得到a=g－

（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即

mg=BI×2r=B××2r=

式中R′＝＝3R，解得v==

导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有

v－v=2gh得h=－

此时导体棒重力的功率为P=mgv=

根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即

P=P1+P2=PG＝，所以P2=P＝

（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为v，此时安培力大小为F′=，由于导体棒ab做匀加速直线运动，有v=v3+at

根据牛顿第二定律，有

F＋mg－F′＝ma

即F+mg－=ma

由以上各式解得

F=t++ma－mg

点评 感应电动势是高中物理知识最重要的一个窗口，通过这个窗口可以与很多知识综合在一起。导体切割磁感线运动产生的电动势为E=Blv，如果产生的感应电动势与电容器、电阻连接，那么我们在解答时就可把感应电动势当作直流电源，联系有关电容器中的电场问题，联系闭合电路欧姆定律进行分析与求解。

二、电动式导轨的基本特点和规律

如图4所示，间距为l的平行导轨水平放置，与电动势为E、内阻为r的电源连接，处在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。当电路闭合时，质量为m、电阻为R的导体从静止开始沿导轨运动，与导轨的动摩擦因数为μ。

图4

1. 电路特点：导体为电动边，与反电动势用电器（电动机）等效。

2. 安培力的特点：安培力为运动动力，并随速度增大而减小。

F=BIl=Bl=Bl

3. 加速度特点：加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速运动。

a=

4. 两个极值的规律：当v＝0时，E=0，电流、安培力和加速度最大且分别为

I=，F=BIl，a=

这就是大型电动机启动时，为了防止电流过大而烧坏绕组线圈时串联启动电阻的原因。

当∑F=0时，速度最大，电流最小，安培力最小。

I=，F=BIl

根据平衡条件有

μmg=F=BIl=Bl

所以，最大速度为

v=－

当μ＝0时，v=，即E=Blv=E，这时电路中电流为零。

5. 匀速运动时的能量转化规律

当导体以最大速度匀速运动时，电源功率等于导体的机械功率（即安培力功率）、焦耳热功率和摩擦力功率之和。

IE=IE+I（R+r）+μmgv

当μ＝0时，电源功率等于导体的机械功率和焦耳热功率之和，这是电动式导轨在匀速运动过程中最基本的能量转化和守恒规律。

IE=IE+I（R+r）

式中导体的机械功率等于反电动势功率，即安培力功率，也可以定量地证明如下

P=IE=IBlv=Fv。

【例2】 （2008•江苏）如图5所示，间距为l的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。磁感应强度为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2。两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直。（设重力加速度为g）

图5

（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能ΔE。

（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域。且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等。求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q。

（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v。

【解析】 （1）a和b不受安培力作用，由机械能守恒知 ΔE=mgd1sinθ ①

（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1，刚离开无磁场区域时的速度为v2，由能量守恒知：在磁场区域中，mv+Q=mv+mgd1sinθ②

在无磁场区域中 mv=mv+mgd2sinθ③

解得 Q=mgd1+d2sinθ④

（3）在无磁场区域，根据匀变速直线运动规律有 v2-v1=gtsinθ ⑤

且平均速度= ⑥

有磁场区域，棒a受到合力

F=mgsinθ-BIl⑦

感应电动势E=Blv⑧

感应电流I=⑨

解得F=mgsinθ-v ⑩

根据牛顿第二定律，在t到t+Δt时间内∑Δv=∑Δt?輥?輯?訛

则有∑Δv=∑gsinθ-Δt ?輥?輰?訛

解得v1-v2=gsinθ-d1?輥?輱?訛

联立⑤⑥?輥?輱?訛解得

v1=sinθ-

由题意知

v=v1=sinθ-。

点评 解决感应电路综合问题的一般思路是“先电后力”，即：

先作“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；

再进行“路”的分析——分析电路结构，弄清串并联关系，求出相关部分的电流大小，以便安培力的求解；

然后是“力”的分析——分析力学研究对象（常是金属杆、导体线圈等）的受力情况，尤其注意其所受的安培力；

接着进行“运动”状态分析——根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型；

最后是“能量”分析——寻找电磁感应过程和力学对象的运动过程中其能量转化和守恒的关系。