六种思维多解磁场

张北春

“磁场”是电磁学的基本知识和核心内容，历年高考试题涉及到本章知识的比例都是很大的，是高考的重中之重。磁场内容可以分成三部分，即：基本概念、安培力；洛伦兹力、带电粒子在磁场中的运动；带电粒子在复合场中的运动。其中磁感应强度、磁通量是电磁学的基本概念，应认真理解；载流导体在磁场中的平衡、加速运动，带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动等内容应熟练掌握；常见磁体周围磁感线的空间分布观念的建立，常是解决有关问题的关键，应注意这方面的训练。带电粒子在复合场的运动是高考每年必考内容，且难度很高，分值也大，应该从常见的模型开始复习有关问题，学会该类问题的一般分析方法。

一题多算得多解

【例1】 （2008•重庆）图1为一种质谱仪工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0 。若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：

图1

（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；

（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；

（3）线段CM的长度。

【分析】 （1）设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R

由qv0B=，R=d得B＝，磁场方向垂直纸面向外

（2）设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t

由vcosθ=v0

得v＝，R′==

◎ 解法一

设弧长为s，t=，

s=2（θ+α）×R′，t=

◎ 解法二

离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，t=Ｔ×=

（3）◎ 解法一

CM=MNcotθ，设圆心为A，连接AN，则AN⊥CN，在△ANO中，由正弦定理有=，∴=，Ｒ′=

联立求解得CM=dcotα

◎ 解法二

设圆心为A，过A作AB垂直NO，则AN=R′=

又在Rt△ABN中，∠ANB=θ，∴NB=ANcosθ=•cosθ=d，又由题知OM=d，∴OM=BN，证得NM=BO

∵ NM=CMtanθ又∵BO=ABcotα=R′sinθcotα=sinθcotα

∴ CM=dcotα

点评 质谱分析法主要是通过对样品的离子的质荷比的分析而实现对样品进行定性和定量的一种方法。因此，质谱仪都必须有电离装置把样品电离为离子，有质量分析装置把不同质荷比的离子分开，经检测器检测之后可以得到样品的质谱图。

一题多探得多解

【例2】在xOy平面内，x轴上方存在磁感应强度为0.5 T的匀强磁场，方向如图2，一α粒子（电荷量与质量的比值为5.0×107C/kg）以5.0×106 m/s的速度从O点射入磁场中，其运动方向在xOy平面内。经一段时间α粒子从图中的A点飞出磁场，已知OA之间的距离为20 cm，求α粒子在磁场中的运动时间（计算结果保留两位有效数字）。

图２

【解】 以α粒子为研究对象，在磁场中运动时，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

Bqv=m

所以R== m=0.2 m

α粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T== s=2.5×10s

甲

乙

图3

【探究一】 若α粒子沿图3甲所示方向射入，设∠AO1B为θ，则

sinθ==，解得θ=

∴α粒子在磁场中运动的圆心角θ′=2π－2θ=π

∴α粒子在磁场中的运动时间为t=•T=1.9×10s

【探究二】 α粒子沿图3乙所示方向射入，设∠AO2C为β，

则sin β==，得β=

∴α粒子在磁场中运动的圆心角β′=2β=

∴α粒子在磁场中的运动时间为t=T=0.63×10s

点评 解探究题要深入了解课本上的物理规律，做到了如指掌，才能对基础探究题做到万无一失；二是掌握探究的方法，了解探究的全过程（七个步骤），熟练运用各种探究方法如“控制变量法”“等效替代法”“类比法”等。

一题多法得多解

【例3】 一个可自由运动的线圈L和一个固定的线圈L互相绝缘垂直放置，且两个圆线圈的圆心重合，当线圈都通如图4甲所示的电流时，则从左向右看，线圈L将（）

图4

A. 不动

B. 顺时针转动

C. 逆时针转动

D. 向纸外平动

◎ 解法一

利用等效法：将L1等效为小磁针，线圈L在线圈L所占据的空间产生的磁场方向垂直纸面向里，等效的“小磁针”N极的受力方向与所在区域磁场方向应一致，故从左向右看线圈L逆时针转动。

◎ 解法二

利用电流元法：画出图4甲的俯视图如图4乙所示，在图中取两对称段a和b，由左手定则可知a段所受力垂直纸面向里，b段受力垂直纸面向外，从左向右看线圈L会逆时针转动，事实上，我们可以在线圈L上取许许多多电流元，L上半圆的电流元受力方向均垂直纸面向里，L下半圆的电流元受力方向均垂直纸面向外，故从左向右看L逆时针运动。

◎ 解法三

利用推论法：环形电流L、L不平行，则必有相对转动，直到两环形电流同向平行为止。据此也可判断L的转动方向，故从左向右看线圈L逆时针转动。

点评 下面介绍几种常用的分析方法。（1）电流元法：导线所在位置的磁场可能比较复杂，不能马上用左手定则来判断，这时可把整段导线分为多段电流元，先用左手定则判断每段电流元受力的方向，然后判断整段导线所受合力的方向，从而确定导线运动方向。（2）等效法：环形电流可等效成小磁针，通电旋管可以等效成条形磁铁或多个环形电流，反过来等效也成立。（3）特殊位置法：通过转动通电导线到某个便于分析的特殊位置，然后判断其安培力方向，从而确定运动方向。（4）利用推论法：利用两平行直导线的相互作用规律，两平行直线电流在相互作用过程中，无转动趋势，同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势。（5）转换研究对象法：因为电流之间，电流与磁体之间相互作用满足牛顿第三定律。这样定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动的问题，可先分析磁体在电流磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向。

一题多式得多解

【例4】 一个负离子，质量为m，电荷量为q，以速率v垂直于屏S经小孔O射入有匀强磁场的真空室中，磁感应强度B的方向与离子运动方向垂直，并垂直于纸面向里，如图5所示。如果离子进入磁场后经过时间t到达P点，则直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系式如何？

图5

【分析】 作出OP的中垂线与OS的交点即为离子做匀速圆周运动的圆心，轨迹如图6所示。

图6

◎ 解法一

弧OP对应的圆心角φ=2θ，

周期T=，运动时间t=T，

解得：θ=

◎ 解法二

弧OP对应的圆心角φ=2θ，

半径为r，则qvB=，弧长l=r•φ，线速度v=，解得：θ=

点评 对问题所涉及到的物理情景和物理过程进行正确分析是解物理题的前提条件，这往往比动手计算还要重要，因为它反映了你对题目的正确理解。高考试卷中有一些题目要求考生对题中所涉及到的物理情景理解得非常清楚，对所发生的物理过程有正确的认识。这种工作不一定特别难，而是要求考生有一个端正的科学态度，认真地依照题意画出过程草图建立物理情景进行分析。

一题多思得多解

【例5】 条形磁铁放在粗糙水平面上，正上方有一导线，通有图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力将会___________（选填“增大”、“减小”或“不变”）。水平面对磁铁的摩擦力大小为___________。

图7

◎ 解法一

画出电流的磁场中通过条形磁铁两极的那条磁感线（如图7中粗虚线所示），可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩擦力。

◎ 解法二

画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条（如图7中细虚线所示），可看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。

◎ 解法三

把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。

点评 求解通电导体棒在包括安培力与其他力的作用下发生运动的问题，要注意从受力分析入手，弄清导体棒的运动特征，并注意选择适当的角度画出相关的磁场和受力的示意图。若是平衡问题，则可根据平衡条件建立方程。若是加速运动问题，则可利用牛顿运动定律、动能定理和能量守恒定律确定解题方案。

一题多试得多解

【例6】 现有外观相同的两段钢棒，一根有磁性，而另一根没有磁性，如何区别它们？

◎ 解法一

根据磁体的吸铁性来判断，找来一些小铁件，如图钉，能够吸起它们的有磁性。

◎ 解法二

根据磁体的指向性来判断，分别把两根钢棒用细线水平吊起，若有南北指向的具有磁性。

◎ 解法三

根据磁极间的相互作用来判断，取来一根小磁针，若能和小磁针有排斥情况发生，则具有磁性；若小磁针放在钢棒周围不同位置一直表现为相吸，那么这根钢棒没有磁性。

◎ 解法四

若没有任何其他材料，也可以进行判断。拿A棒的一端去接触B棒的中间，若相互间无作用力，那么B棒有磁性；若相互间有吸引，那么B棒无磁性，A棒有磁性。

点评 跟判断物体是否带电相类似，要判断某物体是否有磁性，只有将另一磁体靠近它，并观察到两者相互排斥时，才能判定被考察物体是有磁性的。如果被考察物体是铁磁性物质，由于另一磁铁具有吸铁性，因此两者相互吸引不能证明双方都具有磁性。

【跟踪训练】

1. 在如图8所示的空间中，存在场强为E的匀强电场，同时存在沿x轴负方向，磁感应强度为B的匀强磁场。一质子（电荷量为e）在该空间恰沿y轴正方向以速度v匀速运动。据此可以判断出（）

图8

A． 质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能减小，沿着z轴方向电势升高

B． 质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能增大，沿着z轴方向电势降低

C． 质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变，沿着z轴方向电势升高

D．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变，沿着z轴方向电势降低

2. 有关洛伦兹力和安培力的描述，正确的是（）

A． 通电直导线处于匀强磁场中一定受到安培力的作用

B． 安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现

C． 带电粒子在匀强磁场中运动受到洛伦兹力做正功

D． 通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向平行

3. 在等边三角形的三个顶点a、b、c处，各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图9。过c点的导线所受安培力的方向（）

图9

A. 与ab边平行，竖直向上

B. 与ab边平行，竖直向下

C. 与ab边垂直，指向左边

D. 与ab边垂直，指向右边

4. 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

A． 速率越大，周期越大

B． 速率越小，周期越大

C． 速度方向与磁场方向平行

D． 速度方向与磁场方向垂直

5. 1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图10所示，这台加速器由两个铜质D形盒D、D构成，其间留有空隙，下列说法正确的是（）

图10

A． 离子由加速器的中心附近进入加速器

B． 离子由加速器的边缘进入加速器

C． 离子从磁场中获得能量

D． 离子从电场中获得能量

6. 带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。图11是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里。该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少。下列说法正确的是（）

A． 粒子先经过a点，再经过b点

B． 粒子先经过b点，再经过a点

C． 粒子带负电

D． 粒子带正电

图11

7. 如图12，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。

图12