静电场中的奇妙能量关系

汤其超

电荷在电场中加速时速度不断增大，动能增大，是电势能转化成机械能的过程，这是一个看起来很简单的道理，却在下面的问题中启发我们更多的思考。

1. 问题探讨——电荷在同一静电场中能反复加速吗？

1.1 提出问题

图1

如图1所示，M、N是水平放置的两平行正对金属板，两板中央有正对小孔A、B，两孔与用绝缘材料制成的光滑轨道在竖直面内相接，轨道的接口部分与板垂直，两板分别带上等量的异种电荷Q和－Q，两板间的电势差为U，两板均与外界绝缘放置。现有一带正电小球，其电荷量为q、质量为m，如果让小球从M板上方管道内的P点以向左的初速度v开始运动，不计小球运动过程中所受的空气阻力。求小球释放后第n次回到P点时的速度。

【分析】 小球每运动一周回到P点重力做的功为零，所以每一周都只有电场力做功，第n次回到P点，对全过程用动能定理得：

nqU=mv2－mv02

v=

1.2 问题探究

看起来这个问题很简单，这个答案也没有什么值得怀疑的。情况真的是这样吗？如果按这一思路，小球的运动可以不断循环，就可以不断加速，那小球的能量就可以越来越大，但能量从何而来呢？这个装置中没有外界能量补充，小球岂不是凭空获得了能量？而且这能量还可以继续增加下去，这不就是一个永动机吗？

那么真的可以这样获得能量制成永动机吗？当然能量是不可能凭空产生的，也没有人能制成永动机。那这个问题的奇妙在何处呢？奇妙在于对电场空间的理解，在刚才的分析中只考虑了两板之间内部的电场，没有考虑两板外部空间的电场，也没有关注外部空间的电场对我们所研究问题的影响，图2是带等量异种电荷的两平行板内外空间的电场分布，从这个图中我们可以找到答案。

1.3问题解答

图2

原来，带电小球在两板之间运动时电场力做正功，电势能减少，电势能转化成机械能；小球从负极板射出后，小球从负极板的下方经外部空间电场进入正极板上方的过程中，受外部空间的电场作用，小球必须克服外部电场力做功电势能才能增加，所以小球达到正极板上方时电势能增加多少，其机械能就减少多少。实际上静电场是保守力场，在任意静电场中移动电荷，电场力做的功与路径无关，只与始末两点的位置有关，若绕闭合线环行一周，电场力做功为零，电势能的变化量为零。

通过前面的分析我们可以得到，不管带电小球运行了多少周，有几次经过两板之间的电场，只要再次回到P点，其速度都恢复到v，所以上题的答案是：带电小球第n次回到P点的速度仍为v。

2. 思维延伸——回旋加速器里的秘密

我们熟悉的回旋加速器是利用了电荷在D形盒内磁场的回旋从而实现在两D形盒之间的电场中数次加速，使带电粒子的能量不断增加而获得高能粒子，但大家是否注意到在两D形盒之间加交变电场的意义呢？如果我们改变设计，加稳恒电场又能不能实现使带电粒子不断加速的效果呢？请看下面的设计：

绝缘层

图3

如图3上下两D形盒都在中央通过绝缘层隔开，分成左右两部分，就可以在两D形盒之间的左右两部分区域加相反的电场，这样就可以使带电粒子在左右两部分的稳恒电场中一直得到加速，从而使带电粒子的能量不断增大。这不比加周期性同步交变电场简单得多吗？

通过前面的结论，这种设计是行不通的，这样的装置根本不能使带电粒子得到加速，因为对于其中的任何一个稳恒电场，带电粒子绕行一周后电场力做的功都为零。

那么加交变电场有什么区别呢？因为交变电场在换向的过程中，不仅是改变了电场的方向，也改变了带电粒子的电势能状态，从而使带电粒子不断地把电势能转变为动能，保证带电粒子不断加速。

3. 习题讨论

由于静电场有这样的特点，如果我们不能真正理解，在解题的时候就会犯概念上的错误。请看下面的一个考题：

图4

例：如图4所示，极板长为L的平行板电容器倾斜固定放置，极板与水平线夹角为θ。某时刻一质量为m，带电荷量为q的小球由正中央A点静止释放，小球离开电场时速度方向是水平的，落到距离A点高度为h的水平面上的B点，B点放置一绝缘弹性平板M，当平板与水平夹角为α时，小球恰好沿原路返回A点。求：

（1）电容器极板间的电场强度；

（2）平板M与水平面夹角α。

解：

（1）由带电粒子沿水平方向做匀加速运动可知：

Eqcosθ=mg

得：E=

（2）根据动能定理：Eq•Ltanθ=mv02

粒子沿原路返回可得速度方向应与平板表面垂直：tanα=

联立得：α=arctan（）

图5

在这个问题中，两板之间看作匀强电场处理，这是完全合理的，但两板之外的电场的影响是不是能忽略就值得商榷了，如图5所示，根据前面对静电场的讨论，小球从C到P的过程显然存在电场力做功，如果从C点射出的初速度较小，P点靠近D点，电场力做的功明显可能大于重力做的功，这个题也就没有什么实际意义，更重要的是给我们形成了错误的思想，认为电荷在两板之外就完全不考虑电场的作用。