数学技巧在物理竞赛中的灵活运用

井　淼

一、利用“微元”使规律从不能用变为能用

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想的处理，进而使问题得到解决。

例1 粗细均匀质量分布也均匀的，半径分别为R和r的两圆环相切。若在切点放一质点m，恰使两边圆环对m的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？

解析 若要直接求整个圆对质点m的万有引力比较难，若用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m的相互作用，然后推及整个圆环即可求解。

如图1所示，过切点作直线交大小圆分别于P、Q两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，大小圆环上就有对应微小的线元。

ΔL1=R•2Δα，ΔL2=r•2Δα

其对应的质量分别为Δm=ρΔl=ρR•2Δα

Δm=ρΔL=ρr•2Δα，由于Δα很小，

故Δm、Δm与m的距离可以认为分别是

r=2Rcosα，r=2rcosα

所以Δm、Δm与m的万有引力分别为

ΔF==，ΔF==

由于α具有任意性，若ΔF与ΔF的合力为零，则两圆环对m的引力的合力也为零， 即 =

解得大小圆环的线密度之比为：=

二、实施近似处理，解决物理规律不明显的问题

在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了认识所研究问题的本质属性，往往突出问题的主要方面，忽略某些次要方面，进行近似处理。这种采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法。

例2 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间。这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞地拐弯，且拐弯时间可忽略不计。

在此直角三角形范围内可构建一系列如图2中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值。

解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为l、l、l，如图3所示，小球从A到B的时间记为T，再从B到C的时间为T，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为T，由题意知T+T=T，可得l∶l∶l=3∶4∶5。

由此能得T与T的关系

因为l=gT21，l2=gTT

所以=

因为l∶l=3∶4，所以T=T

小球在图4中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t=T，经各水平段所需时间之和记为t，则从A到C所经时间总和为t=T+t，最短的t对应t的下限tmin，最长的t对应t的上限tmax。

小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时t最短，其值即为T，故tmin=T+T=T。

t的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降Δl，便接一段水平距离Δl，这两段之间恒有Δl=Δlcotα，角α即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降并接一段水平距离，如此继续下去，构成如图４所示的微齿形轨道，由于Δl、Δl均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速运动，分别经历的时间小量Δt（i）与Δt（i）之间有如下关联： ==cotα

于是作为Δt（i）之和的t上限与作为Δt（i）之和的T之比也为cotα。故t的上限必为Tcotα，即得：tmax=T+Tcotα=T。

这样tmax:tmin=7:5。

三、利用递推关系，巧求多物体多作用问题

当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论，再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解，解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。

例3 有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上。每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着。现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度。

解析 每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L后，把绳拉紧，再牵动下一个木块。在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能。因此，如果列出（n－1）FL=nmv2n这样的关系式是错误的。

设第（n－1）个木块刚被拉动时的速度为vn－1，它即将拉动下一个木块时速度增至v′n－1，

第n个木块刚被拉动时速度为vn。对第（n－1）个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：

FL=（n－1）mv′2n-1－（n－1）mv2n-1 ①

对绳子把第n个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有

（n－1）mv′n-1=nmvn得：v′n－1=vn ②

把②式代入①式得：FL=（n－1）mvn2－（n－1）mv2n-1

整理后得：（n－1）=n2v2n－（n－1）2v2n-1③

③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知

当n=2时有：=22v22－v21

当n=3时有：2•=32v23－22v22

当n=4时有：3•=42v24－32v23 …

一般地有（n－1）=n2v2n－（n－1）2v2n-1

将以上（n－1）个等式相加，得：（1+2+3+…+n－1） =n2v2n－v21

所以有•=n2v2n－v21

在本题中v=0，所以vn=

四、非对称性问题可看成若干个对称问题的叠加

应用对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题。如果是非对称性问题，我们可以把它巧妙地转化成对称性问题，直接抓住问题的实质，出奇制胜。

例4 如图5所示，在一实心大球体内挖去一个较小的球形孔，余下部分均匀带电，体电荷密度为ρ，试证明小球形孔内为匀强场区。

解析 挖去小球形孔的实心球体可视为电荷体密度分别为ρ和-ρ的两个带电球的复合体。于是带电系统为带电ρ的大球与带电-ρ的小球的组合。利用均匀带电球的场强分布，结合场强叠加原理，即可计算小球孔内的场强。

根据高斯定理，在电荷体密度均匀分布的带电球的场强为：

E=r≤R r>R

为证明小球孔内任一点P的场强均匀，可先计算小球球心O′点的场强，再证明小球孔内任一点P的场强与O′点的场强相等即可。

如图5所示，根据高斯定理，O′点的场强为EO′=a

式中a是O到O′的矢量。小球孔-ρ在O′点的场强为0。

在孔内任取另一点P，则带电ρ的大球和带电-ρ的小球在P点的场强EP1与EP2之和即为P点的场强，即

EP=EP1+EP2=r+r′=（r－r′）=a=EO′

式中r和r′如图6所示。

因任一点P的场强与小球O′点的场强相同，故小球孔内为匀强场区。

五、巧用数学求导，求物理极值问题

如果当Δx→0时， f（x）有极限，我们把这个极限叫做 f（x）在该点（x=x）的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果 f′（x）=0，则在x处函数有极值。

例5 如图7所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q，在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力）。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？

解析 由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时，由图可知

F=2Fsinθ=2sinθ

故其加速度为：

a===（sinθ－sin3θ）

显然加速度是一个关于θ的函数，令 f（θ）=sinθ－sin3θ

则 f（θ）的导数为 f′（θ）=cosθ－3sin2θcosθ

令 f'（θ）=0，即cosθ－3sin2θcosθ=0

解得：sinθ=，（θ=900有极值，不合题意）

即θ=arcsin时 f（θ）有极大值为－3 =

所以当θ=arcsin时，加速度有最大值为：

六、引入参数方程，简解未知量多于方程数的问题

参数方程中的参数常具有一定的物理意义，参数方程的引入，可以使对曲线的认识不只是在孤立的、静止的层面，而是提高到在相互联系的层面，不仅可以深化对物理问题的认识，而且可以优化未知量多于方程数的问题的求解方法。

例6 1 ｍｏｌ理想气体缓慢的经历了一个循环过程，在ｐ－Ｖ图中这一过程是一个椭圆，如图8所示。已知此气体若处在与椭圆中心Ｏ′点所对应的状态时，其温度为Ｔ＝300 Ｋ，求在整个循环过程中气体的最高温度Ｔ和最低温度Ｔ各是多少。

解析 由题给条件，可列出两个相对独立的方程。即气体循环过程的椭圆方程和理想气体的状态方程，即

+=1①

ｐＶ＝ＲＴ ②

①、②两方程中含三个未知量ｐ、Ｖ、Ｔ，直接对①、②两式进行演算，要求出循环过程中的最高温度Ｔ或最低温度Ｔ，是较为困难的。现根据①式引入含参数定义的方程为

V=V0+cosαｐ=ｐ0+sinα

②式则转化为Ｔ＝（1／Ｒ）［ｐ＋（ｐ／2）ｓｉｎα］［Ｖ＋（Ｖ／2）ｃｏｓα］，即Ｔ＝［1＋（1／2）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＋（1／4）ｓｉｎαｃｏｓα］Ｔ，③

（上式中Ｔ＝ｐＶ／Ｒ，为Ｏ′点对应的温度）

因为ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｓｉｎ［（π／4）＋α］，

ｓｉｎαｃｏｓα＝［（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２－1］／2，④

而－1≤ｓｉｎ［（π／4）＋α］≤1，

所以－≤ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝时，由④式知ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2

将上式代入③式得Ｔ≤［1＋（1／2）×＋（1／4）×（1／2）］Ｔ，即最高温度Ｔ＝549 Ｋ。

当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≥－，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝－时，由④式知

ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，

代入③式，得

Ｔ≥［1＋（1／2）（－×（1／4）•（1／2））］Ｔ０，

即最低温度Ｔ２＝125 Ｋ。

七、巧用降维，显示物理量空间关系

由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维的方法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。

例7 如图9所示，将质量为M的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。

解析 要求张力，应在链条上取一段质量元Δm进行研究。因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。

作出俯视图10，设质量元Δm两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆心角θ很小，所以F=2Tsin，即F=Tθ。

再作出正视图11，质量元受重力Δmg、支持力N和张力的合力F而处于平衡状态，由几何知识可得：F=Δmg•cot=Mg•cot

所以链条内的张力T==•cot

八、巧用一次函数的平均值化难为易

用一次函数，我们不但能正确地表达诸如由时间决定的变力，弹簧类物体的弹力，线性变化的感应电动势，静液体的压强，共轴转动物体各点的线速度等等一般的物理规律，更重要的是，我们还可以利用一次函数在定义区间x1~x2内的平均值=，来分析和解决许多比较复杂乃至极其困难的物理问题，从而删繁就简，化难为易。

例8 如图12所示，两条平行的虚线M、N之间存在着垂直纸面向内、磁感应强度为B的匀强磁场。在磁场的左侧另有一个等腰梯形线框ABCD，已知它的AB边的长度d，底角α，且总电阻为R。现使线框自左至右以速度v匀速进入磁场，自AB边进入直到CD边与磁场左边界M重合为止，所用的时间为t，那么求在此过程中通过线框某一横截面的电荷量。

解析 分析可知，在题设过程中梯形线框切割部分的有效长度为

L=d+2vtcotα

由电磁感应规律得线框中的感应电动势

E=BLv=Bvd+2Bv2tcotα

显见，它是时间的一次函数。

然后，该电动势在时间0~t内的平均值为

==

最后由欧姆定律求出通过线框某一横截面的电荷量

q=•t=