物理竞赛中运动模型的应用

包祥龙　丁红明

一、基本模型

1.两种直线运动模型

匀速直线运动：x=v0t，v=v0

匀变速直线运动：x=v0t+at2 ，v=v0+at（特例：自由落体运动）

2.两种曲线运动模型

平抛运动：水平方向匀速直线运动

竖直方向自由落体运动

匀速圆周运动：F合=Fn=man==mω2r=mωv

二、模型讲解

下面以几个典型的单个模型和模型组合为例，介绍如何运用物理模型去解决实际问题。

1.单个模型

（1）匀变速直线运动模型

例1 跳绳是一种健身运动，某同学质量是50 kg，他每分钟能跳180次，假定他每次与地面接触的时间等于一次跳绳时间的。那么他这样跳绳时，克服重力做功的平均功率等于多少瓦？（g=10 m/s2）

解析 人跳绳时分跳起和落下两个阶段，等同于将一物体上抛后又落下，忽略空气阻力后，跳绳的腾空过程可用竖直上抛和自由落体模型来处理。

人每跳一次所用时间为T=s=s

人腾空时间为t=×s=s

所以人起跳的初速度为v0=g×=10× m/s=1 m/s

起跳时的动能Ek=mv02=×50×12 J=25 J

人起跳时的动能就等于上升阶段克服重力所做的功，所以他跳绳时克服重力做功的平均功率为

P==mv2 /T= W=75 W

点评 本题以生活中看似复杂的跳绳运动为背景，很多同学会过多地关注脚跟地面接触的时间里所发生的运动，其实这里人在空中的运动才是关键，只要将空中的运动简化成竖直上抛和自由落体模型后，问题便迎刃而解。

（2）平抛运动模型

例2 如图1所示，在水平地面上建有相互平行的A、B两竖直墙，墙高h=20 m，相距d=1 m，墙面光滑。从一高墙上以水平速度v0=5 m/s抛出一个弹性小球，与两墙面反复碰撞后落地（假设碰撞过程中没有能量损失）。试求：

①小球的落地点离A墙多远？小球从抛出到落地与墙面发生的碰撞次数n为多少？（g=10 m/s2）

②小球与墙面发生第m次（m

解析 因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图2所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动模型处理，效果上相当于小球从A点水平抛出所做的运动。

①落地所需要时间t==s=2 s

水平位移x=v0t=5×2 m=10 m

所以碰撞次数n===10

小球的落地点离A墙的距离为零。

②平抛运动水平方向是匀速直线运动

发生第m次碰撞时所用时间t=m

下落的高度h=gt2=g2==（m<10）。

点评 本题初看小球与竖直墙多次弹性碰撞后，运动是多个曲线运动的组合，除第一个曲线运动是平抛运动外，接下来的都是斜抛运动，处理起来似乎很复杂。但是我们采用对称的方法后，利用平抛运动模型处理，就成了我们所熟悉的问题了。

2.模型组合

（1）匀速直线运动与匀速直线运动组合

例3 一路灯距地面的高度为h，身高为l的人以速度v匀速行走，如图3所示。

①试证明人的头顶的影子做匀速直线运动；

②求人影的长度随时间的变化率。

解析 ①设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS=vt，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头顶影子的位置，如图4所示。OM为人头顶影子到O点的距离。

由几何关系，有=

联立解得OM=t

因OM与时间t成正比，比例系数为常数，故人头顶的影子做匀速直线运动。

②由图4可知，在时刻t，人影的长度为SM，由几何关系，有SM=OM－OS，由以上各式得SM=t

可见影长SM与时间t成正比，所以影长随时间的变化率k=。

点评 本题由生活中的影子设景，以光的直线传播与人匀速运动整合立意。解题的核心是利用时空将两种运动组合，难点是如何借助示意图将动态过程静态化，运用几何知识解答。

（2）匀加速直线运动与匀加速直线运动组合

例4 如图5所示，长12 m的木板右端固定一立柱，板和立柱的总质量为50 kg，木板置于水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数为0.1，质量为50 kg的人立于木板左端，木板与人均静止，人以4 m/s2的加速度匀加速向右奔跑至板的右端并立即抱住立柱。求：人从开始奔跑至到达木板右端所经历的时间？

解析 在人相对木板奔跑时，设人的质量为m，加速度为a1，木板的质量为M，加速度为a2，人与板间的相互作用力大小为F

对人有：F=ma1=50×4 N=200 N

对板有：F－μ（M+m）g=Ma2，a2=2 m/s2

由几何关系得：a1t2+a2t2=L

解得：t＝2 s

评点 本题将人和木板都当成匀加速直线运动模型来处理后，需抓住人和板的位移大小之和等于木板的总长度。

（3）平抛运动与匀速圆周运动组合

例5 如图6所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，以经过O水平向右的方向作为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，该容器在t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v。已知容器在t＝0时滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水。问：

①每一滴水经多长时间滴落到盘面上？

②要使每一滴水在盘面上的落点都位于一条直线上，求圆盘转动的最小角速度ω；

③求第二滴水与第三滴水在盘面上的落点间的最大距离s。

解析 ①滴下的水滴均做平抛运动，所以有

h=gt2，t=

②要使水滴共线，则在水滴下落过程中圆盘转过的角度

φ=kπ=ωt（k=1，2，3……）

ω===kπ

所以角速度最小值为：ω=π

③如图7所示，设每隔T时间滴一滴水，T=t

每一滴水的水平射程相同，x=vt=v

所以第2滴落地点距O点的距离为2x

同理，第3滴落地点距O点的距离为3x

落地点相对O点为一左一右时，落点间的距离最大

第2滴与第3滴间的最大距离为：s=5x=5v

点评 本题是将平抛运动与匀速圆周运动组合，关键是抓住时间与空间的关联。

（4）匀速圆周运动与匀速圆周运动组合

例6 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。

解析 如图8所示，由于地球在自转，卫星每次经过地球向日面的赤道上空时，地球都自西向东转动了θ角（或s弧长），那么为了能将赤道上的全部情况都记录下来，卫星每次就需要将s弧长的范围都拍下。

设卫星周期为T1，那么：

G=m（R+h）①

又G=mg②

有T1= ③

地球自转角速度为ω=④

在卫星绕行地球一周的时间T1内，地球转过的圆心角为θ=ωT1=T⑤

那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为s=θR⑥

联立解得s=

点评 在卫星做匀速圆周运动的同时，地球也在自转，找到两个圆周运动模型的关联是解决本题的关键所在。