带电体的运动问题如何变形

顾建军

这一部分高考题主要考查的是带电粒子在磁场中的运动。既有选择题也有计算题出现。

例1 ［新题］（2008年广东）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。图1是在有匀强磁场云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里。该粒子在运动时，其质量和电荷量不变，而动能逐渐减少，下列说法正确的是（）

A． 粒子先经过a点，再经过b点

B． 粒子先经过b点，再经过a点

C． 粒子带负电

D． 粒子带正电

【答案】 AC

分析 由r=可知，粒子的动能越小，圆周运动的半径越小，结合粒子运动轨迹可知，粒子先经过a点，再经过b点，选项A正确。根据左手定则可以判断粒子带负电，选项C正确。

说明 解此类题的关键是由轨迹判断半径的变化。其实这种问题在以前的高考题中早已经出现：

［旧题一］（2002年全国） 图2为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹，室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直（图中垂直于纸面向里），由此可知此粒子（）

A. 一定带正电

B. 一定带负电

C. 不带电

D. 可能带正电，也可能带负电

【答案】 A

分析 同学们可以明显看出两题几乎一样，不同的是此题只字不提粒子的运动方向，这样造成了问题的隐蔽性，而根据粒子半径的减小可推知粒子是自下向上穿过铅板的。不难看出本题答案为A。

说明综上所述我们不难看到，旧题一难在题目有隐含条件，若考生不考虑粒子运动的方向则容易错选D项。而新题在选项中提出了粒子的运动方向，降低了思考难度。

［旧题二］（2007年全国Ⅱ） 如图3所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点的速度方向如图中箭头所示。现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）

A. 若磁场方向指向纸里，质点运动的周期大于T0

B. 若磁场方向指向纸里，质点运动的周期小于T0

C. 若磁场方向指向纸外，质点运动的周期大于T0

D. 若磁场方向指向纸外，质点运动的周期小于T0

【答案】 AD

分析 由匀速圆周运动、库仑定律、洛伦兹力、左手定则等知识列出：

未加磁场：=mr

磁场指向纸里：－qvB=mr

磁场指向纸外：+qvB=mr

比较上述式子，T1>T0，T2

说明 本题在考查洛伦兹力、左手定则的基础上，又增加了匀速圆周运动、库仑定律这两个考点，是一道思考量和计算量都比较大的综合题。常见的错误是列不出圆周运动的动力学方程及不注意负电荷运动形成的电流与运动方向。匀速圆周运动、库仑定律、洛伦兹力、左手定则等知识点，是高中物理的重点，同时也是高考的热点，应熟练掌握。我们改变一下本题的条件可以做出以下的变题。

［猜想变形题］在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕轴O在匀强磁场中做逆时针方向的匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，其俯视图如图4所示。若小球运动到A点时，绳子忽然断开。关于小球在绳断开后可能的运动情况，下列说法中正确的是（）

A. 小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变

B. 小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径减小

C. 小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变

D. 小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小

【答案】 ACD

分析 相信你能自己分析出来。需要注意的是本题与上题的不同点：绳子断开后小球有可能做顺时针方向的匀速圆周运动。你能分析出满足Ｃ、Ｄ两个选项的运动条件吗？

例2 ［旧题］（1996年全国） 设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0 V/m，磁感应强度的大小B=0.15 T。今有一个带负电的质点以v=20 m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电荷量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）。

分析 根据带电质点做匀速直线运动的条件，得知此带电质点所受的重力、电场力和洛伦兹力的合力必定为零。由此推知此三个力在同一竖直平面内，如图5所示，质点的速度垂直纸面向外。

由合力为零的条件，可得

mg=

求得带电质点的电荷量与质量之比

===1.96 C/kg

因质点带负电，电场方向与电场力方向相反，因而磁场方向也与电场力方向相反。设磁场方向与重力方向之间夹角为θ，则有

qEsinθ=qvBcosθ

解得tanθ===0.75

θ=arctan0.75

即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctan0.75，且斜向下方的一切方向。

说明 带电粒子在复合场中的运动，既可以是圆周运动，又可以是直线运动。本题由于不知速度的具体方向和电场强度的具体方向，给正确进行受力分析进而画出受力图，找出各力的关系带来了困难。

［新题］（2008年四川）如图6，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ0＜θ＜。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。

分析据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛伦兹力

f＝qvB ①

式中v为小球运动的速率，洛伦兹力f的方向指向O′，根据牛顿第二定律

Ncosθ－mg=0②

f－Nsinθ=m③

由①②③式得

v2－v+=0④

由于v是实数，必须满足

Δ=2－≥0⑤

由此得B≥ ⑥

可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为

B= ⑦

此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为

v= ⑧

由⑦⑧式得

v=sinθ

说明本题知道磁感应强度的具体方向，正确进行受力分析画出受力图并不困难，但是磁感应强度的最小值要由数学知识求出。与旧题相比，一个是需要较强的空间想象能力，一个是要求有扎实的数学函数分析能力。看似不同，但都体现了高考物理对同学们应用数学知识解决物理问题的能力有较高的要求。希望在平时训练中引起高度的重视。

［猜想变形题］如图7，在倾角为θ、用绝缘材料制成的斜面上，放一个质量为ｍ、电荷量为＋ｑ的小滑块，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，μ＜tanθ。整个装置处在匀强磁场中，磁感应强度为Ｂ，方向垂直斜面向上，求小滑块在斜面上运动达到稳定时的速度大小和方向。

【答案】 v=，方向与垂直斜面底边的直线夹角为φ=arccos（μcosθ）。

分析 小滑块在运动过程中受到重力、支持力、摩擦力和洛伦兹力四个力的作用，而这四个力的方向呈立体的空间关系，有些学生由于无法建构四个力准确的方向关系，或者无法将它们用图形正确表示出来，使运动过程的分析受挫，从而解题失败。假设达到稳定时的速度大小为v，方向与垂直斜面底边的直线夹角φ，那么我们可以在斜面所在的平面内画出受力分析图。首先我们知道摩擦力的大小f=μmgcosθ，因为斜面对滑块的压力恒为F=mgcosθ，而方向在平面内且与滑块运动的方向相反。重力在斜面内的分量大小为mgsinθ，它与洛伦兹力和摩擦力在平面上三力平衡。相信你应该可以算出答案了。