天体表面的机械运动

2009-07-23隆光辉刘兴蓉

物理教学探讨·高中学生版 2009年2期

隆光辉　刘兴蓉

天体运动和人造卫星问题与现代科技结合密切，是思想教育的好教材。它综合考查了万有引力定律、牛顿第二定律和圆周运动等知识及有关应用，属中低档题，历年高考必考。而天体表面的机械运动问题是天体运动问题的新型题，最早出现在1998年全国高考试卷中（见例4），近两年各地高考也出现了很多。要解决此类问题，关键是找到天体运动与常规机械运动的联系点——所在星球表面处重力加速度g，即分别由天体运动和常规机械运动求出重力加速度g：

下面试分类分析：

一、天体表面的自由落体运动

例1 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（）

A． 2/t B． /t

C． /t D． /2t

分析物体在月球表面高h处被释放后将做自由落体运动，是自由落体运动与天体运动相结合。由h=g′t2，求得月球表面附近的重力加速度g′=。再由mg′=G=m，得v=，故B正确。

值得注意的是有的同学认为物体是在月球表面高h处被释放的，故轨道半径r=R+h，其实做自由落体实验，h应远远小于R，方可认为g′不变，故轨道半径r=R。

二、天体表面的竖直上抛运动

例2 宇航员在地球表面以一定初速度竖直向上抛一小球，经过时间t小球落回原处，若他在某星球表面以相同的初速度竖直向上抛同一小球，小球落回原处需经过时间5t。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地。

分析宇航员将小球抛出后，小球做竖直上抛运动，是竖直上抛运动与天体运动相结合。

（1）由竖直上抛运动的对称性可知：=t上=t下=，即t＝，5t＝，

所以g′=g=2 m/s2。

（2）对星球表面处的物体m有：mg=G，所以M=，可解得：

==。

三、天体表面的平抛运动

例3 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0。求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。

分析着陆器第一次到达最高点时速度方向是水平的，则从此时刻起到它第二次落到火星表面将做平抛运动，是平抛运动与天体运动相结合。设火星表面附近的重力加速度为g′，火星的质量为M，火星的卫星质量为m，火星表面处某一物体的质量为m′，由万有引力定律和牛顿第二定律，有：

对火星表面上的某一物体：G=m′g′，

对火星的卫星：G=m2r ，

设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，则有v12=2g′h，v2=v12+v20

解以上各式，得：v=。

例4 宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

分析小球作两次平抛运动且高度相同，是平抛运动与天体运动的结合。

设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x2+h2=L2，

根据平抛运动规律，初速度增大为2倍，水平射程也增大为2x，有（2x）2+h2=（L），

由以上两式解得h=。

设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得h=gt2，

由万有引力定律与牛顿第二定律得=mg（式中m为小球的质量），