趣谈逆向思维

毛国永

逆向思维就是在分析、处理问题时，从习惯思维（正向思维）相反的方向去探索、研究，从而解决问题的一种思维方法。运用逆向思维往往能使我们另辟蹊径，有效地找到解决问题的钥匙。

一、反弹琵琶

解决物理问题时，一般总是从条件出发按照习惯思维模式进行正面的思考。这对解决大多数问题是有效的，而对某些特殊问题，若一味地进行正面顺向思考，思维往往会受阻。此时，若能引导学生冲破思维定势的束缚，从反面入手进行思考，常常能出奇制胜。

例1 用一轻弹簧把两块质量分别为m1、m2的木块连起来，放在光滑的水平地面上，如图1所示。问：至少应在上面的木块上加多大的压力才能使撤去此力后，上面的木块反弹过程中，恰能将下面的木块提起。

分析 本题用常规方法求解很繁杂，这里采用逆推法。若在轻质弹簧上端连结一物体，再用力F向下压，则松手后弹簧的伸长情况与用同样大小的力F拉弹簧，所产生的情形相当。反之，当我们用力F向上拉弹簧，松手后弹簧缩短的情形，效果上相当于用同样的力压缩弹簧的情形，由弹簧的可逆性，不难求出F=（m1+m2）g。

二、过程反演

物理学中不少现象存在可逆性。对于有的问题，如果正向思维遇到困难，可以充分利用其中的可逆性（如运动可逆、光路可逆、电路可逆等），将过程进行反演，利用逆向思维求解。

例2 如图2，一充电的平行板电容器，板长为L，两板间距为d。现将一带电微粒（重力不计）从下极板的左边缘斜射入电场中，结果带电微粒刚好从上极板的右边缘射出。试确定带电微粒射入电场时，速度方向与下极板的夹角θ应是多少？

逆向思维就是在分析、处理问题时，从习惯思维（正向思维）相反的方向去探索、研究，从而解决问题的一种思维方法。运用逆向思维往往能使我们另辟蹊径，有效地找到解决问题的钥匙。

一、反弹琵琶

解决物理问题时，一般总是从条件出发按照习惯思维模式进行正面的思考。这对解决大多数问题是有效的，而对某些特殊问题，若一味地进行正面顺向思考，思维往往会受阻。此时，若能引导学生冲破思维定势的束缚，从反面入手进行思考，常常能出奇制胜。

例1 用一轻弹簧把两块质量分别为m1、m2的木块连起来，放在光滑的水平地面上，如图1所示。问：至少应在上面的木块上加多大的压力才能使撤去此力后，上面的木块反弹过程中，恰能将下面的木块提起。

分析 本题用常规方法求解很繁杂，这里采用逆推法。若在轻质弹簧上端连结一物体，再用力F向下压，则松手后弹簧的伸长情况与用同样大小的力F拉弹簧，所产生的情形相当。反之，当我们用力F向上拉弹簧，松手后弹簧缩短的情形，效果上相当于用同样的力压缩弹簧的情形，由弹簧的可逆性，不难求出F=（m1+m2）g。

二、过程反演

物理学中不少现象存在可逆性。对于有的问题，如果正向思维遇到困难，可以充分利用其中的可逆性（如运动可逆、光路可逆、电路可逆等），将过程进行反演，利用逆向思维求解。

例2 如图2，一充电的平行板电容器，板长为L，两板间距为d。现将一带电微粒（重力不计）从下极板的左边缘斜射入电场中，结果带电微粒刚好从上极板的右边缘射出。试确定带电微粒射入电场时，速度方向与下极板的夹角θ应是多少？

分析 乍看此题，已知条件少，而且属于斜抛问题，况且斜抛运动在高考中不作考试要求，但利用运动的可逆性，求解则十分简捷直观。

设微粒质量为m，带电荷量为q，初速度为v0，电场强度为E，若将微粒从上极板右边缘以v0cosθ沿板水平射入，带电微粒在电场中做的是类平抛运动，如图3，此时的运动与原题的运动显然是可逆的。又设微粒在电场中运动需要时间为t。

则L=v0 cosθt①

v0sinθ=t ②

d=t2③

联立①②③，得tanθ=，θ=arctan。

三、逆向转换

逆向转换就是在解决问题时，利用逆向思维，把试题所述的情景转换为我们熟悉的物理情景，再进行具体求解。常见的有运动的逆向转换（如本文例2）、光路的逆向转换、结论的逆向转换等。

例３ 质量m=10 g的子弹，以v0=400 m/s的速度水平射入一固定木块，穿出后的速度v=100 m/s。若将该木块放在光滑的水平面上，要使子弹仍以v0的速度水平射向木块，且要穿过木块，试求木块质量M的取值范围。

分析 由于子弹穿过木块后，与木块的速度不同，讨论起来较麻烦。如果逆向转换，先讨论子弹射不穿木块的情况，由于这种情况中子弹、木块的末速度相同，因此讨论起来比较简单。

因水平面光滑，故子弹、木块系统水平方向动量守恒，又由于子弹射不穿木块，子弹、木块系统消耗的机械能一定大于mv20－mv2，于是有

mv=（m+M）vt，

mv20－（m+M） v2t>mv20－mv2

由以上两式可得

M>－m=－0.01kg=0.15 kg

因为M>0.15 kg时，子弹射不穿木块，所以，M≤0.15 kg是本题所求的取值范围。

四、反证归谬

从思维方法的意义上来说，反证法就是一种特定的逆向思维方法。通常，反证的基本方法是这样：（1）反设，根据原命题提出与它对立的反命题；（2）归谬，即从假设的反命题出发，运用已知条件、物理规律进行分析推理，论证反命题不成立（不正确）；（3）结论，即肯定原命题成立（或正确）。

例４ 半径为r、电阻为R的闭合金属圆环垂直磁场放置，磁感强度B随时间均匀增大，即B＝kt，图4中C、D所对圆心角为90°，试确定C、D之间的电势差UCD？

分析 用计算直接求UCD也可，但常会算错。如用反证法，则很方便。在图中左边的圆环上任取一点A，先假设D点电势比C点高（提出反命题），则A点的电势就比D点高，而C点的电势就比A点高，这样就会得到C点的电势反而比D点高了，这就与原先的假设相矛盾（归谬），可见上述反命题不成立；同理可证C点电势比D点高也不可能。因此，只能得出UCD＝0的结论。

五、执果索因

执果索因就是先假定所要证明的结论成立，由此出发，利用一定的物理知识，推导出符合题设物理模型的条件。这样把结论转化为判断条件（推理的每一步均可逆），以此判断所证结论确实成立。

例5 长度为L的橡皮带，一端拴住一个质量为m的小球，以另一端为中心，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，角速度为ω。若橡皮带每伸长单位长度产生的弹力为 f，试证明橡皮带的张力为F＝。

分析 假设所证结论正确，则将F＝展开，逐步上溯得Ff－Fmω2＝mω2fL，Ff＝mω2fL＋Fmω2，F＝mω2L＋＝mω2L＋，由题意知f＝k，故F＝mω2（L＋ΔL）。上式正是反映小球在水平面内做匀速圆周运动时，所需要的向心力是由橡皮带的张力提供的，物理意义明确且步步可逆，所以得证。

六、反客为主

反客为主就是改变问题中不同事物的主次地位，把原来处于相对次要地位的事物突出来，成为我们的主要研究对象，从而顺利地解决问题。

例６ 一人站在车厢中向左推着车厢侧壁，车厢向前以加速度a做匀加速运动。试判断人对车厢做功的正负。

分析 因为人对车厢的作用力有手的推力和脚的压力、摩擦力，其中压力不做功，但脚的摩擦力方向如何？手和脚的作用力哪个大？一时难以看出。因此，先思考一个相反的问题，即判断车厢对人做功的正负，因为人做加速运动，车厢对人做正功，且人和车厢之间没有相对位移，人对车厢做的功与车厢对人做的功大小相等，一正一负，由此即可推知，人对车厢做负功。

分析 乍看此题，已知条件少，而且属于斜抛问题，况且斜抛运动在高考中不作考试要求，但利用运动的可逆性，求解则十分简捷直观。

设微粒质量为m，带电荷量为q，初速度为v0，电场强度为E，若将微粒从上极板右边缘以v0cosθ沿板水平射入，带电微粒在电场中做的是类平抛运动，如图3，此时的运动与原题的运动显然是可逆的。又设微粒在电场中运动需要时间为t。

则L=v0 cosθt①

v0sinθ=t ②

d=t2③

联立①②③，得tanθ=，θ=arctan。

三、逆向转换

逆向转换就是在解决问题时，利用逆向思维，把试题所述的情景转换为我们熟悉的物理情景，再进行具体求解。常见的有运动的逆向转换（如本文例2）、光路的逆向转换、结论的逆向转换等。

例３ 质量m=10 g的子弹，以v0=400 m/s的速度水平射入一固定木块，穿出后的速度v=100 m/s。若将该木块放在光滑的水平面上，要使子弹仍以v0的速度水平射向木块，且要穿过木块，试求木块质量M的取值范围。

分析 由于子弹穿过木块后，与木块的速度不同，讨论起来较麻烦。如果逆向转换，先讨论子弹射不穿木块的情况，由于这种情况中子弹、木块的末速度相同，因此讨论起来比较简单。

因水平面光滑，故子弹、木块系统水平方向动量守恒，又由于子弹射不穿木块，子弹、木块系统消耗的机械能一定大于mv20－mv2，于是有

mv=（m+M）vt，

mv20－（m+M） v2t>mv20－mv2

由以上两式可得

M>－m=－0.01kg=0.15 kg

因为M>0.15 kg时，子弹射不穿木块，所以，M≤0.15 kg是本题所求的取值范围。

四、反证归谬

从思维方法的意义上来说，反证法就是一种特定的逆向思维方法。通常，反证的基本方法是这样：（1）反设，根据原命题提出与它对立的反命题；（2）归谬，即从假设的反命题出发，运用已知条件、物理规律进行分析推理，论证反命题不成立（不正确）；（3）结论，即肯定原命题成立（或正确）。

例４ 半径为r、电阻为R的闭合金属圆环垂直磁场放置，磁感强度B随时间均匀增大，即B＝kt，图4中C、D所对圆心角为90°，试确定C、D之间的电势差UCD？

分析 用计算直接求UCD也可，但常会算错。如用反证法，则很方便。在图中左边的圆环上任取一点A，先假设D点电势比C点高（提出反命题），则A点的电势就比D点高，而C点的电势就比A点高，这样就会得到C点的电势反而比D点高了，这就与原先的假设相矛盾（归谬），可见上述反命题不成立；同理可证C点电势比D点高也不可能。因此，只能得出UCD＝0的结论。

五、执果索因

执果索因就是先假定所要证明的结论成立，由此出发，利用一定的物理知识，推导出符合题设物理模型的条件。这样把结论转化为判断条件（推理的每一步均可逆），以此判断所证结论确实成立。

例5 长度为L的橡皮带，一端拴住一个质量为m的小球，以另一端为中心，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，角速度为ω。若橡皮带每伸长单位长度产生的弹力为 f，试证明橡皮带的张力为F＝。

分析 假设所证结论正确，则将F＝展开，逐步上溯得Ff－Fmω2＝mω2fL，Ff＝mω2fL＋Fmω2，F＝mω2L＋＝mω2L＋，由题意知f＝k，故F＝mω2（L＋ΔL）。上式正是反映小球在水平面内做匀速圆周运动时，所需要的向心力是由橡皮带的张力提供的，物理意义明确且步步可逆，所以得证。

六、反客为主

反客为主就是改变问题中不同事物的主次地位，把原来处于相对次要地位的事物突出来，成为我们的主要研究对象，从而顺利地解决问题。

例６ 一人站在车厢中向左推着车厢侧壁，车厢向前以加速度a做匀加速运动。试判断人对车厢做功的正负。

分析 因为人对车厢的作用力有手的推力和脚的压力、摩擦力，其中压力不做功，但脚的摩擦力方向如何？手和脚的作用力哪个大？一时难以看出。因此，先思考一个相反的问题，即判断车厢对人做功的正负，因为人做加速运动，车厢对人做正功，且人和车厢之间没有相对位移，人对车厢做的功与车厢对人做的功大小相等，一正一负，由此即可推知，人对车厢做负功。