虚功原理在竞赛中的妙用

姚学林　肖相如　熊兆熙

虚功原理是指物体在力系作用下处于平衡状态，若物体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续虚位移，则外力在位移上所做的虚功W恒等于物体内力合力在虚位移上所做的内力虚功W 。可简单写成：W（外力功）=W（内力功）。

虚功原理的应用条件是：力系应当满足平衡条件——力系是平衡的。

在高中物理竞赛中有一部分静力学的问题，如果应用一般的常规方法往往需要复杂的列方程和烦琐的数学运算，但如果对分析力学中的虚功原理有所了解并应用，会使得我们的解题过程大大简化。下面就我们常见的几个问题举例：

例1如图1所示，5根长度均为l的质量均为m的均质杆，将它们端点铰接成为正六边形机构，固定在天花板上，使六边形在竖直平面内，并用不可伸长的轻绳一端连在下杆中点挂在天花板上，轻绳竖直，求绳上的张力。

解析：若用常规做法，需要列几个受力平衡和力矩平衡方程。用虚功原理可以化简计算。

设此时绳长为l，则五根杆构成的系统的重力势能为E=－2mg－2mg－mgl=－3mgl

假设绳长有dl的变化，则绳子张力做功为W=－Tdl

由虚功原理有W=dE 即－Tdl=d（－3mgl）=－3mgdl

得T=3mg

可见虚功原理可大大减少运算量。

例2匀质杆AB始终在平面内，A端靠在光滑墙上，B端在一光滑曲面上，如图2示。若无论B在何处杆均受力平衡，求曲面方程。

解法一：常规受力分析

如图3所示，因曲面光滑，约束力合力沿法向。

于是有：=tanφ= ①

由几何关系：sinθ=x/l ②

由竖直方向受力平衡得：N=P ③

对A点由力矩平衡得：

Ncosθ+（Plsinθ）/2=Nlsinθ ④

联立①②③④解出N，N后代入①式得：

=

d=d

令sinu = x/l，则上式化为：d=sinudu

积分得：

=－cosu+Cy=－+C′

因x=0时y=0，故有：C′=

所以曲线方程为：y=1-

此方法较烦琐，且用到高等数学的知识。

解法二：虚功原理

约束为理想约束，主动力为重力，由虚功原理，虚位移中主动力做功为零，即

Pδy=0

y=常量

由几何关系：y=y+

故y+=常量

因x=0时y=0，故常量为。

故y=1-

显而易见，采用虚功原理大大简化了我们的解题过程。

例3如图4所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角间，下部挂一重量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a＜2l）的杆上，求绳中的张力？φ角已知。

解法一：常规受力分析的方法

铰链不提供力矩，故AP，CP对P点只有沿杆作用力。即F，Q处铰链受力左右对称，又为平衡。故作用力只有水平分量，即F。其余各力如图5所示。

对AQ杆：

沿杆方向受力平衡：Fsinφ=F

对K点力矩平衡：Fcosφ=Fl－

对铰链A：

竖直方向受力平衡：Fcosφ+Fsinφ=Fcosφ

水平方向受力平衡：T+Fsinφ+Fsinφ=Fcosφ

对铰链P：

竖直方向受力平衡：2Fcosφ=P

联立以上5式解得：T=P－tanφ

解法二：虚功原理

建立如图4所示的坐标系，主动力为两个T，及P，约束为理想约束，则有：

x=lsinφ δx=lcosφδφ

y=2lcosφ－acotφδy=－2lsinφδφ+a

由虚功原理得：－2Tδx+Pδy=0

将δxA，δyP代入可得：T=P－tanφ

例4四根长为l重为mg，两根长为2l重为2mg的匀质杆由铰链连接，如图6所示悬挂，图中连接在节点之间的轻绳长l，求其绳中的张力。

解法一：利用常规受力分析的方法再列出力的平衡方程和力矩的平衡方程求解，这里就不再赘述。

解法二：利用虚功原理进行求解

将张力视为主动力，设想一虚位移使B下降δy，则C下降2δy，BC增长δy，故张力作功为： -Tδy

系统重心为B，重力做功为8mgδy

由虚功原理，应有：

- Tδy+8mgδy=0

故T=mg

虚功原理不一定对连续体才适用，对于离散的系统同样适用，其核心不变，主要工作是表示出系统质心的位置，从而表示出系统的能量。具体见下题。

例5如图7所示，一竖立在竖直面内的半圆形空心管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，已知每个珠子重力为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。

解法一：常规做法

如图8所示，对第k个球进行受力分析。图中的角量分别是：α= β=－=

球在x方向受力为0，有：Ncosα+Wcosβ－Ncosα=0

整理得：N－N=W

那么求和可以得到：

N ==

==W

用常规方法作受力平衡的方程好列，但是最后数学运算技巧性很高。

解法二：利用虚功原理解答

如图9，设任意珠子的球心到管的圆心OO′长度为R，前面i个球为系统质心为C，设CO长度为L。

由虚功原理有：Ncosαdθ=iWd（Lsinθ）=iWLcosθdθ 其中α=

即：N=

现在目的是求出质心位置参量L和θ

由对称性已知角度θ=2iα=iα

求L用旋转矢量法：如图10所示。

i个大小为mR、方向一次相差角度2α的矢量和的大小应该为imL。

有：imL=2sin（iα） 即L=

代入N的表达式得：

N===

=W

可见此题利用虚功原理不需太复杂的数学运算，但是在计算质心这个物理工作上要求也挺高的，就此题而言，利用旋转矢量法计算质心位置是此题的关键。对物理方面的技巧的灵活应用，是竞赛的基本素质，也很好地体现了竞赛对提高思维的有效帮助。

除了在力学中，虚功原理在电磁学中同样有应用，对于有些情况，电磁力用常规方法无从下手，利用虚功原理便能很好地解决。

例6如图11所示，一个外半径为R1，内半径为R2的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为ε的密度为ρ的电解液中，若将电容器接上电压为U的电源，求电解液中液面上升的高度。

解析：为了求出液面上升的高度，需求出电容器内液体受的电场力，在此用虚功原理求解。

先求出电容器电容：设单位长度电容带点为λ，则离轴线r处电场强度为E=

内外筒电势差为U=Edr= dr=ln

单位长度电容为C==

若有电解质有C′=

设电容器长为L，其中有电解液长度为x，则电容器电容为：

C=xC′（L－x）C=

电容储存电场能为E=CU2，设电解液受力为F（方向向上），假设电解液在F作用下向上移动dx，由虚功原理有Fdx=dE=dCU2=dC=

得F=

液面上的电解液受力平衡有：F = ρhπ（R21-R22）g

得h=

从以上几例中，我们可以看出虚功原理在一些常见问题中的妙用。它其实让我们从复杂的方程和运算中解脱出来，把静力学的问题与能量的观点结合起来。因为在很多的问题中受力尽管很复杂，但能量的关系却很简单。需注意，也不能乱用虚功原理。一定要注意它的适用条件。