带电粒子在电场中的三类运动

刘　伟

第一类 在匀强电场中的运动

带电粒子受到恒定的电场力，我们可以用牛顿第二定律和动能定理两种方法求解。由于动能定理同时也适用于非匀强电场，因此应用范围更广，普适程度更高。

（一）初速度方向与电场线平行

①当粒子带正电时，一直做匀加速运动，由动能定理得：qU=mv2－mv20，v=

②当粒子带负电时，一直做匀减速运动，由动能定理得：－qU=mv2－mv20，v=

我们注意到不论粒子电性是什么，射出小孔时的速度是由极板电压U，粒子的比荷q/m和初速度v0共同决定的，而与极板间距d，场强大小E等其他因素无关。

（二）初速度方向与电场线垂直

带电粒子受恒定电场力，沿曲线做匀变速运动，也叫类平抛运动。由于电场力对粒子做正功，因此射出电场后，粒子的动能一定增加。由于粒子的轨迹是曲线，运用运动的合成与分解是我们处理此类问题的主要思路。如图2所示，质量为m，电量＋q的粒子，由中间沿平行水平极板AB的初速度v进入电场后，将在电场中发生偏转，所以我们把这样的电场叫做偏转电场，描述粒子经过此电场发生偏转的特征量为侧移y和偏向角φ，它们之间存在着确定的定量关系：y=，tanφ=，y=tanφ。

虽然粒子事实上是沿抛物线射出电场的，但我们往往把它等效为从正中间O点沿着直线射出电场，这样就用更简单的直线代替曲线处理问题，特别是一些装置（如挡板、荧光屏等）摆放空间位置交代明确的，依据“直线射出”，应用相似三角形的关系处理，可以收到很好的效果。

图2

如果初速度方向与电场线成任意角θ（θ不等于0°、90°、180°），那么粒子在电场中就做“类斜抛运动”，我们仍可以用运动的合成与分解的思想来解决。

第二类在非匀强电场中的运动

（一）利用U=Ed作定性判定

如图3所示，带正电粒子沿电场线从a经b到c，已知ab和bc间的距离相等，判断动能的增量ΔEKab和ΔEKbc的大小。

解析 由动能定理qU=ΔEk可以作出判定，所以只需比较Uab和Ubc的大小。U=Ed在定量的计算上只能用于匀强电场，但在定性的判断上我们可以拓展它的范围，应用于非匀强电场中。由电场线的分布我们知道，ab间的平均电场强度比bc间的小，它们间的距离相等，因此必有Uab＜Ubc，故ΔEKab＜ΔEKbc 。

（二）利用带电粒子的电性、电场力做功正负、电场线疏密作定性判定

如图4所示，静电场的电场线为实线，某带电粒子的轨迹ab为虚线。

分析此类问题一般都从三个角度入手：

１． 从力的角度：由电场线疏密判断联系着力的物理量（如F、E、a等）。b处更密，粒子在b处的F、E、a均大一些。

２． 从能量的角度：由指向轨迹凹处力的大致方向与轨迹切线的夹角确定电场力做功的正负，再由动能定理（或能量守恒定律）判断联系着能量的物理量（如Ek、E电、v等）。从a到b电场力做正功，b处粒子的动能Ek大，速度v大，由能量守恒知电势能E电小。

３． 从电势角度：由受力大致方向结合粒子电性，通过确定电场线方向来判断电势。由于粒子电性未知，我们不能确定电场线的方向，也就不能判断电势的高低。

带电粒子在非匀强电场中一般做非匀变速曲线运动，特殊的可以做匀速圆周运动（粒子绕中心电荷的运动），我们通常用动能定理（qU=ΔEk）或能量守恒来确定物理量的值。

第三类 在交变电场中的运动

带电粒子在交变电场中受到方向周期性变化的电场力作用，从总体上看粒子体现出三种基本的运动形式，一般都从两条思路去处理。

思路一：阶段分析法。分析粒子在一个周期内各阶段（以力方向的变化来划分阶段）的运动情况，再考虑运动的周期性。

思路二：v-t图象法。根据已知条件作出粒子运动的v-t图象来分析。

如图5所示，质量为m，带电量为＋q的粒子，原来静止于竖直放置、间距为d的平行金属板间，两极板间所加的电压U随时间t的变化如图6所示。根据极板间加上电压的不同时刻，粒子的运动可能存在着三种基本的运动形式。

基本形式一：一直向某一极板运动

设在t＝0时刻两极板间加上电压，并以右为正。

①0~内，F=q，s1=at2=T2

在t＝时，v1=at=

向右做匀加速直线运动。

②~T内，s2==T2

v2=v1－at=0，向右做匀减速直线运动。

即粒子在一个周期内一直向右运动，先做匀加速运动再做匀减速运动，总位移s＝s1+s2＝T 2，末速度v2=0，以后重复这样的运动。

对应的v-t图象如图7所示。

如两极板是在t＝时刻加上电压，粒子的运动情况类似，只是一直向左运动。

基本形式二：往复运动

设在t＝时刻两极板间加上电压，并以右为正。

①~内，水平向右做匀加速直线运动。

s1=T2v1=

②~内，水平向右做匀减速直线运动。

s2=T2v2=0

③~T内，水平向左做匀加速直线运动。

s3=T2v3=

④T~内，水平向左做匀减速直线运动。

s4=T2v4=0

粒子在一个周期内~，向右运动的最远距离2s1=T2，而总位移为零。

一个周期结束时，粒子恰好回到原静止点（即出发点），恢复到原先的初始运动状态。以后重复这样的运动，对应的v-t图象如图8所示。

如两极板是在t＝时刻加上电压，粒子的运动类似，只是开始时向左运动。

基本形式三：一周期时间总体向某一方向运动，周期内运动有往返

设在t＝时刻两极板加上电压，并以右为正。

①~内，水平向右做匀加速直线运动。

s1=T2 v1=

②~内，水平向右做匀减速直线运动。

s2=T2 v2=0

③~T内，水平向左做匀加速直线运动。

s3=T2 v3=

④T~内，水平向左做匀减速直线运动。

s4=T2 v4=0

粒子在一个周期内~，向右运动的总位移为s=2s1－2s2=T2，一个周期结束时，粒子速度恰好为零，以后重复这样的运动，对应的v-t图象如图9所示。

如两极板是在t（除0、、、外）时刻加上电压或极板上的电压大小正负半轴不同，粒子的运动仍然是类似的，只是在一个周期内通过的总位移大小和方向有所不同而已。

在具体的题设情景下，要能完整、清晰、充分地描述粒子在交变场中的运动，解读其运动本质，我们往往需要把两种方法结合起来分析：通过阶段分析展示粒子在各个过程中运动的细节，才能真正理解为什么这样运动和怎样运动，侧重的是分析这个过程；通过v-t图象直观地再现了粒子的整个运动，物理量值间的关系简约明了，侧重的是解题这种手段。题给条件（临界条件、隐含条件、极值条件等）的不同，会约束粒子的运动，这些限制性的条件是需要我们解题时仔细挖掘的。