浅谈二次函数的三种表示方法

刘　柱

摘要：函数是中学数学的一个重要概念，初中阶段主要学习一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数。尽管内容不多，但函数的思想已经有所体现，仍占据着重要地位。基础知识是否牢固，函数的思想是否基本形成，对高中阶段的进一步学习都有着相当大的影响。二次函数又是初中的一个难点，因此学好函数的表示方法及其重要。

关键词：二次函数 表示方法 解析式求法

函数是研究现实世界中数量关系的一种重要的数学模型之一，北师大版九年级（下）的数学知识中，函数的章节很大的比例，尤其是其中的二次函数更是重中之重，是中考的必考题目之一。下面根据笔者的教学经验谈谈二次函数的三种表达方法。

一、二次函数的表达方法及特点

1.列表法：用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。它表示了变量之间的变化趋势及规律；

2.图象法：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。

3.解析式法：用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做表达式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达。

二次函数虽有三种表示方法，但是在考试中考最常的还是解析式法。因而，求函数的解析式也成了考试的一个重点。很多题目求二次函数的解析式成了解整道题目的关键。

二、二次函数的解析式求法

求二次函数的解析式是函数这一章的重点和难点之一。求函数解析式一般步骤为:(1)设出所求函数的一般解析表达式。(2)把解析式中的系数当做未知数,列出方程或方程组。(3)求出方程或方程组的解,然后代入函数解析式中便得到所求的解析式.其中如何能根据函数的一些有关性质或它满足的一些条件,设函数的解析式是求二次函数解析式的关键。常见的几种类型如下：

（一）三点型

若已知二次函数图像上任意三点的坐标，二次函数的定义规定：形如y=ax2＋bx＋c（ａ，ｂ，ｃ为常数，ａ≠0）的函数称为二次函数。也就是说，二次函数必须满足两点：一是最高次数等于２；二是二次项系数不等于零，利用这两点可以求出标准式y=ax2＋bx＋c二次函数的具体解析式。

例1已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式。

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得，解之得故所求二次函数解析式为y=x2+2x-3。

(二)顶点型

若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值，则可以用顶点形式y=a(x-h)2+k。

例2已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解析式。

解：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3。

解得a=-2。

所以，抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5。

(三)交点型

若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以用交点形式y=a(x-x1)·(x-x2)。

例3已知二次函数图像与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，且经过点（1，-5），求其解析式。

解：设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-5=a(1+1)(1-3)。

解得a=。故所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),则y=x2-x-.

(四)平移型

将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求的抛物线的解析式。

例4 将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得到的抛物线的解析式。

解：函数解析式可变为y=(x+1)2

-4。

因向左平移4个单位，向下平移3个单位，所求函数解析式为y=(x+1+4)2-4-3,即y=x2+10x+18。

总之，函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象。

参考资料：

成正贵《新课标九年级数学（北）中学教材详解》甘肃文化出版社 2008年4月