新混沌系统与变形蔡氏电路系统的异结构同步

郭玉祥　吴然超

摘 要：研究一个新的混沌系统与变形蔡氏电路系统的异结构同步问题。基于Lyapunov稳定性理论，分步构造Lyapunov函数，并在响应系统中采用设计单个非线性控制器的方式，实现了这两个不同混沌系统之间的异结构同步，并证明误差变量随时间演变时是逐渐趋于零的。数值模拟验证了这种方法的可行性和有效性，所设计的控制器具有可操作性强，同步效果好，易于推广等优点。

关键词：新混沌系统；变形蔡氏电路系统；混沌同步；Lyapunov函数

中图分类号：TN918文献标识码：B

文章编号：1004 373X(2009)02 079 03

Synchronization of New Chaotic System

and Modified Chua′s Circuit System with Different Structure

GUO Yuxiang,WU Ranchao

(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei,230039,China)

Abstract：Synchronization of new chaotic system and modified Chua′s circuit system with different structure is studied.The Lyapunov function is deduced based on the Lyapunov stabilization theory,a nonlinear controller is designed to realize the synchronization between chaotic systems with different structure.Conclusion about the error variable approaching to zero smoothly and quickly is also testified with the evolution of the time.Numerical simulations prove that the approach is effective and feasible.The designed controller processes the merits of highly operating,getting better results on synchronization and generalizing easily.

Keywords：new chaotic system;modified Chua′s circuit system;chaotic synchronization;Lyapunov function

0 引 言

近年来，混沌及其应用是非线性科学研究领域中的一个热门课题。由于混沌系统有着复杂的动力学行为，且对初值的敏感性和长时间的不可预测性，所以混沌的控制与同步就成了研究混沌应用的重要环节。自20世纪90年代初Pecora和Carrol［1］首次提出混沌同步以来，人们随后也提出了各种不同的混沌同步方法；如自适应同步、脉冲同步、混合同步、耦合同步等［2－9］。在此针对一类新混沌系统［10］，用变形蔡氏电路系统严格地跟踪这个新系统，根据Lyapunov稳定性理论，分步构造出Lyapunov函数［9］，使得误差变量方程渐近稳定，从而使驱动系统和响应系统在结构不同和参数失配的前提下达到了完全同步。数值仿真验证了该方法的可行性和有效性，进一步推广了混沌同步在非线性科学领域中的应用。

1 系统模型描述

文献［10］提出一个新的三维混沌系统，其动力学方程为:

1=a(x3－x1)，

2=bx1－dx21

3=kx1x2－cx2－gx3(1)

显然，该系统仅存在两个非线性项。文献［10］利用理论推导、数值仿真、Laypunov指数分析了它的基本动力学特性，验证了系统丰富的混沌特性，该系统对于混沌在信息加密中具有重要的应用价值。当a=8，b=40，c=10/3，d=1，g=4，k=1时，该系统的混沌吸引子如图1所示。

变形蔡氏电路混沌系统［11］为:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］

2=y1－y2+y3

3=－b1y2(2)

当a1=10，b1=100/7时，系统的混沌吸引子如图2所示。下面将讨论这两类系统之间的同步问题。

2 非线性控制器的设计

设系统（1）为驱动系统，受控的变形蔡式电路系统为响应系统:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)

2=y1－y2+y3，

3=－b1y2(3)

在系统（3）中引进单个控制器u(t)，当u(t)未作用时，两系统随时间变化的轨迹各不相同，即它们属于异结构混沌系统。

图1 系统的混沌吸引子（一）

图2 系统的混沌吸引子（二）

定理对于混沌系统（1）和（2），若控制器结构为:

u(t)=－（1/b1），b1＞0

则两系统同步。

式中，e1,e2是误差变量；Ω(t)是关于系统状态变量的多项式。

证明 引入误差变量e3，并令e3=y3－x3。由式（1）和式（2）可以得到:

3=－b1y2－kx1x2+cx2+gx3

分步构造Lyapunov函数，先构造如下形式:

V3=（1/2）e23

则:

3=e33=－e23+e3(e3－b1y2－kx1x2+cx2+gx3)

令:

e2=b1y2－k1

其中:

k1=e3－kx1x2+cx2+gx3

则:

2=b1(y1+y3)+k(1－g－a)x1x2－cbx1－

c(1－g)x2－g(1－g)x3+akx2x3+

(kb+cd)x21－kdx31

构造第二部分Lyapunov函数 V2=V3+（1/2）e22，则:

2=－e22－e23+e2(b1y2－k1－e3+2)

=－e22－e23+e2［b1(y1+y2+y3)－2y3+

2x3+k(2－g－a)x1x2－cbx1－c(2－g)x2－

g(2－g)x3+akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

令e1=b1y1－k2，其中:

k2=－［b1(y2+y3)－2y3+2x3+k(2－g－a)·

x1x2－cbx1－c(2－g)x2－g(2－g)x3+

akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

则:

1=b1{a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)}－2

=b1u(t)+Ω(t)

其中:

Ω(t)=a1b1［y2－(2y31－y1)/7］－2=

［a1b1－b1(b1－1)］y2－（1/7）a1b1(2y31－y1)+

b1(y1+y3)+［2－g(2－g)+akx2］(kx1x2-

cx2－gx3)+［ak(2－a－g)x2－abc+

2a(kb+cd)x1－3kdax21］(x3－x1)+

［k(2－a－g)x1－c(2－g)+akx3］·

(bx1－dx21)

构造Lyapunov函数 V1=V2+（1/2）e21，则:

1=2+e11=－e21－e22－e23+

e1

对于响应系统式（3），当同步控制器形式满足:

u(t)=－（1/b1），b1＞0

就有 1=－e21－e22－e23≤0。根据Lyapunov稳定性理论［12］，两个系统达到混沌同步，即:

limt→∞e璱(t)=0； i=1,2,3

其中:

e1=b1y1－k2，e2=b1y2－k1，e3=y3－x3

下面通过数值模拟验证此方法的有效性。利用Matlab编程进行仿真，选取参数:

(a,b,c,d,g,k)=(8,40,10/3,1,4,1)，

(a1,b1)=(10,100/7)

初始值:

(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,2,3)，

(y1(0),y2(0),y3(0))=(0.1,0,0)

图3给出了系统（1）和（3）的状态变量的误差曲线；图4给出了驱动系统和响应系统的状态变量的同步过程。从图中可以看出误差变量随时间的推移逐渐趋于零值，驱动系统和响应系统在短时间内很快完全达到同步，另外，还可以看出这两个系统能否达到同步与系统的初始值选取无关，仅需取定的初始值能使系统处于混沌状态即可。

图3 误差e1(t),e2(t),e3(t)随时间的演化曲线

图4 同步是状态变量随时间的演化曲线

3 结 语

通过设计单个非线性控制器的方式，实现了一个新混沌系统与变形蔡式电路系统之间的异结构同步，并给出了控制器的设计过程。理论验证和数值仿真说明了该方法的可行性和有效性，进一步推广了混沌的应用。这种混沌同步的方法，可以应用于混沌遮掩和混沌参数调制保密通信。

参考文献

［1］Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in Chaotic Systems［J］.Physical Review Letters,1990,64(8):821－823.

［2］Chen X Y,Lu J F.Adaptive Synchronization of Different Chaotic Systems with Fully Unknown Parameters［J］.Physics Letters A,2007,364(2):123－128.

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［6］LV Ling ,Luan Ling ,Guo Zhian.Synchronization of Chaotic Systems with Different Orders［J］.Chinese Physics,2007,16(2):001－006.

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［9］冯立军,谷德桥.异结构不确定混沌系统的同步控制与参数识别［J］.应用光学,2008,29(1):156－159.

［10］刘凌,苏燕辰,刘崇新.一个新混沌系统及其电路仿真实验［J］.物理学报,2006,55(8):3 933－3 937.

［11］Yan J J,Lin J S,Liao T L.Synchronization of a Modified Chua′s Circuit System via Adaptive Sliding Mode Control［J］.Chaos,Solitons﹠Fractals,2008,36(1):45－52.

［12］吕翎.非线形动力学与混沌［M］.大连:大连出版社,2000.

作者简介 郭玉祥 男，1983年出生，安徽舒城人，硕士研究生。研究方向为动力系统混沌理论及其在保密通信中的应用。