转化思想在立体几何教学中的运用

李冬梅

立体几何是高中数学的重要内容。培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化与化归的思想方法。它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。下面就在立体几何教学中如何启发学生应用转化与化归的思想方法分析和解决有关问题，做初步的探究。

空间问题平面化

由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生比较熟悉的平面几何知识来解决问题。教师应充分引导学生将空间问题平面化，往往能起到化复杂为简单、化生疏为熟悉的功效，从而使问题得到解决。而运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。

几何问题代数化

新课程注重代数与几何的联系，注重学生数形结合思想的培养。可以利用向量解决立体几何中的度量问题以及有关平行和垂直的证明。这样将几何问题代数化，不仅降低了学习立体几何的难度，而且有利于培养学生将代数与几何联系，利用代数方法解决几何问题的能力和数形结合的能力。

在进行相关内容的教学过程中，笔者改变以往过于重视学生利用添加辅助线来解决立体几何题目的教学方法，抓住运算这条主线，首先帮助学生理解空间向量的含义，然后让学生从向量的角度去认识立体几何，学习利用向量运算的方法解决立体几何的有关问题。例如，求二面角的平面角的大小时，可设计如下程序展开教学：1）让学生结合相关图形建立坐标系，并看一下各点坐标是否易于求得，如不易求出，则需重建，使学生掌握建系的原则；2）分别准确地求出两个对应平面的法向量的坐标，强调运算的准确性；3）利用两个向量的夹角公式，求出两个对应平面的法向量的夹角；4）对照图形说明两个平面的二面角的大小；5）运用其他运算方法，如利用射影面积法解决此类问题。

利用运算方法解决几何问题，改变以往学生在解决几何问题时，因为添不上辅助线，遇到立体几何题“绕着走”的现象，同时也培养了学生数形结合的数学思想。当然，数学思想的培养不是一朝一夕的事，只有在整个教学中注意以数学思想为主线组织教学，处处渗透，才能达到教学目的。

线面关系相互化

线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化。教学中如果能够引导学生充分利用线面间的位置关系进行恰当转化，则往往能起到化难为易的作用。

立体图形规矩化

割补转化是解决立体几何问题的常用方法之一。通过“割”或“补”，可化复杂图形为简单图形，从而较快地找到解决问题的突破口。如教材中斜棱柱侧面积公式的推导，就是通过割补法转化为直棱柱后进行的。

方法技能模型化

立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能明显地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得、延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。在立体几何的教学中，要努力让学生学会利用转化与化归的思想方法去分析和解决有关问题，切实有效地提高解决立体几何问题的能力。

等积转化

等积法在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的等积转化（或称等积变换）是面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

（作者单位：河北省滦县第一中学）