抽象思维成就奇才

冯　洋

数学奇才

1826年9月17日，黎曼出生在德国汉诺威的一个叫布雷斯伦茨的小村庄，父亲是当地的牧师。

年幼的黎曼天资聪明，深得父母的喜爱。5岁时，他对历史表现出了强烈的兴趣，常常沉迷于古代战争故事而难以自拔。一年之后，他的兴趣逐渐转移，开始学习算术，算术给这个敏感的孩子提供了一些不太困难的东西去细想。从此，他天生的数学才能开始表现出来，不但解决了别人留给他的所有题目，甚至还常出一些困难的题目去考别人。

黎曼中学时的数学老师回忆说：“黎曼在16岁时曾经向我借数学书看。并且很谦虚地说希望有一本不太容易看懂的书。我对他说只要你喜欢，书架上的书任你挑选，结果他选了法国数学家勒让德的《数论》。这是一本长达859页、难度非常大的大四开本书。我对黎曼说：‘试试，看你能读懂里面多少东西。6天后，他把书送回来了。我问他读懂了多少?他竟回答说：‘这本书写得非常好，我已全懂了。数论对他是那样有特别的吸引力，后来，黎曼又读了勒让德写的几何书，并从几何书中选了许多题目来做。这说明，还在中学时代，黎曼就已显示出他是一个数学天才了，他具有很强的数学直观能力及抽象思维能力。”

1846年，黎曼进入哥廷根大学研读哲学和神学，这是因为他想尽快得到一个有报酬的工作，以便在经济上支援家庭。然而，他的心思仍然扑在数学上，最终还是选择了数学专业。

哥廷根大学的教育方法较为落后，在读了一年后，黎曼转到柏林大学，从学于著名教授雅可比、狄利克雷·施特涅尔，从此开始进入新的、充满活力的数学境界。他从老师那里学到了很多东西。如从雅可比那里学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学到了数论和分析，从施特涅尔那里学到了现代几何，而从比他年长3岁的艾森斯坦那里不仅学到了椭圆函数，而且学到了一个人为何坚持“自信”，因为他和这位年轻的大师兄对数学理论应该如何发展，有着根本的、最激励人的不同观点。

此后不久，黎曼便成为数学史上最具独创精神的数学家之一，他的著作不多，但却异常深刻，极富创造与想象。在其短暂的一生中，黎曼为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。

复变函数论的奠基人

19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。

1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了4篇重要文章，对其博士论文做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。

柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的。

在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。

经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。

黎曼将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并给出著名的黎曼映射定理。

黎曼几何的创始人

黎曼开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。

1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世两年后以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。

为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。

黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。

黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。

在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学：如果一条都不能作，则为椭圆几何学：如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言。客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人——予以证实。

爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。

微积分理论的创造性贡献

18世纪末到19世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不

严密性。黎曼对微积分理论有其独到的见解。

1854年，黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，完成了名为《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》的文章，这篇文章对完善分析理论产生深远的影响。

柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。

解析数论跨世纪的成果

19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。

1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数>的论文，将素数分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。

在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。

那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于实部等于1/2的直线上，这个问题迄今没有人证明。对于某些其他的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。

英年早逝

不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责：另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼一罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。

由于长时间的辛苦工作，黎曼的健康每况愈下。1863年，他的病情变得严重，不得不放下手中的工作去养病。他最后的日子是在骄利湖畔塞拉斯卡的一栋别墅中度过的。传记作家是如此讲述着黎曼怎样离开人间的：“他的力气迅速衰退，他感到自己的终点近了。去世的前一天，他坐在一棵无花果树下工作，在环绕着他的灿烂的风景中，他的心灵充满了愉悦……他的生命缓缓地衰竭。没有斗争或死亡的痛苦，看起来他仿佛很有兴趣地注视着灵魂脱离躯体……”这时正是1866年7月20日，黎曼轰轰烈烈的一生却在悄无声息中告别了人间，享年仅39岁。

黎曼像流星一样出现，然后消失，他在数学领域活跃的时间只不过15年，但他的思想对现代函数论发展的影响是巨大的，直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。