高考数学成败在基础

王文滢

一、阅卷感受

笔者有幸参加了2009年湖北省高考数学阅卷工作,深深感受到高考阅卷的严肃性、公正性和规范性.

1.阅卷程序简介

今年继续实行全部试题网上阅卷.阅卷教师由三部分人员组成:高校教师、在读研究生、中学教师.阅卷流程是:评卷、仲裁、质检,采用“双评”加“仲裁”最后是“质检”的三重保险的阅卷模式,确保了公平、公正、准确的阅卷原则.每个阅卷人员都有一个用户名和密码,凭用户名和密码才能登入,登入后每个阅卷人员的一举一动都处在组长及专家组成员的监控中,离线几分几秒、阅卷的总量、平均速度、有效度、仲裁率等各项指标在电脑里都有实时跟踪,这增加了阅卷的透明度.每份答卷至少由两名人员评分(双评),而且彼此看不到对方的分数,两名人员不是固定组合,电脑随机派送.若两人所给分数在一定的范围内,那就是有效分数.两个分数加起来取平均分,就是该答卷的最后得分.如两人所给分数超出给定的范围,由第三个人重新评阅(仲裁),也就是由小组长裁定,最后给定分数.而仲裁分数与评卷分数差,将记录第一次评卷的两个老师的有效率.如果误差太大,将记为“恶评”,作为考评阅卷老师的重要依据,对恶评率高的予以解聘.这样,可以避免较大失误,相对来说,评分更加公正准确.当然,也不能保证百分之百的准确,但误差已经降到最低,并且有效地控制了感情分数的出现.

2.阅卷给分原则

高考阅卷,比起平时老师阅卷,更加强调知识点的把握,更加客观和科学,下面就以我参评的2009年高考数学(理科)湖北卷第16题为例来说明.本题是概率题,试题如下:

16.(本小题满分10分)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为y,记随机变量?浊=x+y,求?浊的分布列和数学期望.

这一题是试卷中的第一道解答题,较简单,是平时经常训练的知识点,大多数考生能够正确而且规范地解答.

这一题是试卷中的第一道解答题,较简单,是平时经常训练的知识点,大多数考生能够正确而且规范解答.尽管如此,评分细则中还是充分考虑到所有可能出现的情况,作出了详细的说明.事实上,直到阅卷完毕,几乎所有异常情况(包括各种不同的错误和另类的解答方法)均可以在评分补充说明中找到给分或者扣分的依据,充分说明了高考阅卷的评分标准的细致、严谨和科学.

3.阅卷体会

总的来说,高考评卷体现了公平、公正的原则,以考生为本的阅卷理念使得对考生比较人性化,主要体现在两个方面:①评分标准的人性化.评分标准特别强调数学解答过程的合理性、严谨性和准确性,但对于解题方法、表达方式,没有过多的限制,只要有数学思想、方法、公式,就可以踩点给分.比如随机变量的分布列中,只要有一个随机变量的取值对应的概率计算正确,就可以得分.再比如立体几何,只要建立空间直角坐标系,就得1分,即使仅在图中标上箭头符号也可以.若两个法向量都计算错,只要有公式,也可以得分.有时课本上没有的结论也可以使用,不需要再做证明,例如:立体几何中等体积法求点到面的距离、由三角形面积之比求二面角等等;②阅卷的人性化.阅卷中碰到异常情况,如:试题答错位置、另类解答、另类表达等等都会将试卷作上记号提交给本题负责人,本题负责人会根据相关要求按规定处理,比如:试题答错位置的会提交给评阅本题的负责老师评阅,另类解答会慎重商量后给出合适的分数,使用数学符号不尽合理者只要过程和结果正确,意思表达能让人明白,是不会扣分的.

尽管如此,第16题的得分情况仍然很不理想,得满分的同学只占到大约七成,绝大多数同学能得分但相当一部分同学没得到满分,丢分原因主要在两个方面:思维受阻和低级失误.思维受阻主要体现在:①对于随机变量、分布列和数学期望等概念模糊不清或不甚理解,想当然地根据自己的感觉乱写;②不能正确判断事件等可能发生的性质,胡乱套用公式;③能正确写出基本事件总数,但因对随机变量的概念理解不清而不能正确表示随机变量的取值及其对应的概率.低级失误主要体现在:①低级的计算错误,突出表现在期望的计算,很多考生概率分布列和期望公式都正确,却在最后一步算错,导致丢了最后一步的2分;②七个概率中某一个或多个概率算错,导致期望也算错,从而丢掉较多的分;③基本事件总数多数了一个或少数了一个,导致后面的概率和期望全都不对,基本上就得不到什么分了.

试卷中,考生本题主要存在以下几个方面的问题:①运算能力差.今年的数学试卷, 尽管计算量不是很大,但对运算能力还是有一定的要求,但从答卷情况来看,考生的运算能力普遍较差.②基本概念不清.从答题情况看,一些考生,尤其是差生对基本的数学概念的掌握常常是模糊、混乱的.③证明推理能力弱,理性思维不深刻.数学推理证明需要思维严谨,步步有据,在这方面很多考生都不能过关.数学思维能力是能力考查的重点.试题对理性思维进行了深刻的考查.但有的考生由于理性思维不深刻,致使无法完整解答.归根到底是因为对双基的掌握不扎实,数学能力不强所导致的.

二、2009年高考试题分析

1.试卷知识点和难度分布:(见右表)

2.试题特点分析:

(1)试题平稳、主干突出:2009年高考数学湖北卷继续秉承稳定的特点,在题型结构、分值分布上与2008年保持一致,贯彻《考试大纲》的要求,以支撑高中数学学科的主干知识为载体,强化对数学基础知识、基本思想方法、基本技能的考查,难度稳定、难易梯度稳定,考查全面、重点突出、布局合理.

(2)朴实无华、平中见新:纵观全卷,没有偏题、怪题,绝大多数试题取材于课本,风格贴近教材,问题简单、背景常见、方法基本,考生只要对基本的概念、公式、定理、定义、性质等相关的基本知识点理解透彻,就会很容易上手,在熟悉而亲切的氛围中正常发挥自己的水平.试题形式多样、背景丰富、立意新颖、寓意深刻,从古希腊毕达哥拉斯学派研究的多边形数,到日本数学家提出的“角谷猜想”,再到“家电下乡”活动和“中星九号”广播电视直播卫星这些社会热点问题,使整个试卷充满了时代气息,新鲜生动,语言虽然平实,但意味深远.

(3)能力立意、注重通法:能力立意是《考试大纲》的明确要求,试卷以数学知识为载体,从问题入手,侧重考查学生对基本概念、公式、定理、定义、性质的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力,整个试卷以考查考生数学思维能力为核心,强调思维的严谨性、科学性、抽象性,同时全面考查了考生空间想象能力、运算能力、实践能力和创新意识.对数学思想方法的考查非常注重通性通法,即使是最后三道解答题,也全都是通法解决,没有什么特殊技巧,为基础扎实、数学素养较高的考生充分发挥提供了空间.

(4)纵横联系、注重交汇:在对基础知识的考查上,试卷比较注重知识的纵横联系和交汇,以理科试卷为例:第1题考查集合的运算与向量,第4、17题考查三角函数与向量,第3题考查概率与复数,第7题考查双曲线与椭圆,第6题考查二项式展开式与求极限,第19题第(2)小题考查数列与不等式,第21题考查函数、导数、不等式的综合等等,这就要求考生熟练掌握交汇处的知识点的基本知识和基本方法,同时还要求能综合运用这些基础知识和基本方法来分析解决问题,从而有效地检测了考生对不同知识点的掌握程度,以及考生的综合能力与素质.

(5) 难度适中,文理有别:对于文理科考生群体在数学学科上表现出的差异,试卷给予了恰当的定位,文科试题重视数学知识的工具性和形象性,理科试题注重数学知识的深刻性和抽象性,在考查难度和要求上差异明显,适合文理科特点.文理科试卷完全相同的题共有4道,完全不同的题共有11道,姊妹题共有6道,其中有3道是解答题.

三、2010年高考备考策略

1.研究考纲,明确方向:《考试大纲》是高三复习指导性文件,也是高考命题的唯一依据,首先应该认真研究《考试大纲》.《考试大纲》通常从考试性质、考试要求、考试内容、考试形式及试卷结构四个方面对高考作出说明,我们特别要研究的就是考试要求和考试内容.考试要求对考试内容的知识要求、能力要求、个性品质要求作出了非常详细的说明.同时对考查要求也有明确规定,详尽回答了“考什么”和“怎么考”.对照《考试大纲》中的“考查要求”,潜心研究湖北省近几年高考试题就会发现,每一道试题无不在贯彻“考查要求”的精神.只有吃透《考试大纲》,才能正确把握高三复习的方向,减少复习的盲目性.但是,在高三复习中,往往随着复习的推进和深入,很多老师不由自主地拔高了复习的难度,导致考生在上课时只有听老师讲难题才觉得有意思,而不注重基础知识的系统化,在练习时也常常是眼高手低,爱做难题,不重视对基本知识点、基本思想方法进行归纳、小结和体会,这与《考试大纲》的精神相违背,是非常得不偿失的.还有一个现象也值得关注,一轮复习结束后会有大量高考模拟题甚至压轴题涌现,其中很多试题无论从形式、内容、难度、风格哪个方面来看,与当年的高考试题相比都相去甚远,不能较好地体现《考试大纲》的要求.

2.回归课本,夯实三基:三基是指基本知识、基本方法、基本技能,夯实三基既是高考的要求,也是提高能力的前提.近几年《考试大纲》中都明确指出:对数学基础知识的考查,要既全面又突出重点,对于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体.近几年高考试题很好地贯彻了这一思想,对基础知识和基本方法的考查在整个试卷中占有相当大的比重,同时所谓的比较难的考查能力的题,也是不同基础知识、基本方法的交汇与综合,所以说高考成也基础,败也基础.那么,如何夯实基础呢?我认为应做到以下三点:

(1)研究考纲:考纲对知识的要求,依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次.复习之前必须先明确哪些知识是考纲要求要考的,考到什么程度,仔细剖析对能力的要求和考查的数学思想与数学方法有哪些?有什么要求?明确一般的数学方法,普遍的数学思想及一般的逻辑方法(即通性通法),这样既明了知识系统的全貌,又知晓了知识体系的主干及重点内容.

(2)回归教材:教材首先是一切基础知识的来源,所以我们必须回归课本,研究数学概念、定义、定理、公式、性质等基本知识的形成、发展和拓展,自觉地将前后知识进行联系、纵横比较,寻找知识的内在联系与规律,从而在基本知识的学习过程中体会基本数学思想和数学方法,锻炼和提高数学能力.教材还是高考试题取材的重要来源,2009年文理科试卷通过课本上的例题、习题加工、改造、整合而成的试题都超过了90分,不仅如此,试题的表达方式、语言叙述风格与课本都十分贴近,这就要求我们重视课本上的例题和习题.事实上,课本上许多重要的例题和习题都反应了相关数学理论的本质属性,蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓,对这类数学问题,通过类比延伸、变式变形、引伸创新、深化推广、迁移拓广,提出新的问题并加以解决,能有效巩固基础知识,发展数学能力,从而发挥教材的扩张效应.

(3)落实练习:所有数学考试最终都将落在解题上.考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题练习是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题练习落到实处.在教师指导下,根据不同的复习阶段和考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识, 真正做到解一题,会一类.特别应注意针对自己的弱点以及易迷惑、易出错的问题,多加练习.在解题实践中,弥补不足.在辨析中,逐步解决“会而不对,对而不全”的老大难问题.

3.构建网络,注重交汇:近几年《考试大纲》都要求对数学知识的考查,要“注重学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面”,“在知识网络的交汇点处设计试题”.重视知识间的纵横联系、注重知识的交汇,既是高考命题所要遵循的原则,同时又是有效检测考生能力的重要途径.对于常见的知识网络交汇点,如:函数、导数与不等式的综合、数列、函数与不等式的综合、数列与解析几何、三角函数与平面向量、解析几何与平面向量、解析几何与立体几何、概率统计与排列组合,在高考复习尤其是第二轮复习时应加强练习,同时注意挖掘新的知识网络交汇点,捕捉高考命题的新视角.

4.合理规划,优化进程:高考复习的三阶段安排已经是一个常规,第一阶段系统复习,第二阶段专题复习,第三阶段模拟练习,每个阶段都有它的明确任务和具体要求.三个阶段实质上是数学思维素质立向攀升的三个层次,是从知识和方法到思想到能力的拾级登高.

(1)系统复习:这一阶段的目的是系统整理知识,查漏补缺,优化知识结构,形成知识网络.应牢牢抓住以下几点:①基本概念的准确理解和实质性理解;②基本技能、基本方法的学习和应用;③基本公式、定理的正逆推导,正确熟练地运用;④理解基本知识点的内在联系和规律.经过全面复习这一阶段的努力,以形成知识网络、熟悉通性通法、消除知识漏洞、规范解题步骤.

(2)专题复习:如果说第一轮复习的目的在于强调全面,那么第二轮主要在于突出重点.第一轮以纵向为主、顺序复习,第二轮以横向为主、深化提高.这一轮要通过知识的横向综合,锻炼和提高运用基本数学方法和数学思想解决数学问题的能力.专题应该是:①知识网络的交汇点;②全面复习过程中反映出来的弱点;③八大主干知识中的重点;④近年高考试题中的热点;⑤基本数学思想方法的系统介绍,如数学归纳法、反证法、换元法、待定系数法、配方法,以及函数与方程思想、数形结合思想、等价转换思想、分类讨论的思想.这一轮的复习可以从知识专题和方法专题两个方面来进行,应做好五个转化:从单一到综合;从分割到整体;从记忆到应用;从慢速模仿到快速灵活;从纵向知识到横向方法.这一复习过程,要充分体现分类指导、分类要求的原则,内容的选取一定要有明确的目的性和针对性,要在老师的指导下,联系自己的实际,不要过分拔高,以免加重负担.

(3)模拟练习:在前两轮复习的基础上,为了增强数学备考的针对性和应试功能,做一定量的高考模拟试题是必须的,也是十分有效的.这一阶段应做好几件具体工作:①精选模拟试题.选题要依据考纲的要求,结合自身实际,适当参考近年的高考试题,题量要适当、难度要适中,并要有一定的综合性,贴近高考风格. 对于外地资料,要有所取舍,要有选择地使用.②认真听好每套试卷的评讲.每次考完后应进行一次反思.教师讲评时,应注意听清如何审题、如何打开思路,分析关键步骤在哪里和题目的纵横联系,找出答题中的典型错误,分析知识上、逻辑上、心理上和策略上的原因,还要知道优秀、新颖解法,以及试题的详细评分标准及分步得分要领,学会如何运用一些应试策略和技巧等.③通过做模拟题进一步检查复习的知识漏点和解题易错点,针对存在的问题进一步有重点、有针对性、有目标地对基础知识进行梳理;④建立考情档案,进行综合练习.

5.考中学考,提高技能:高考的成败不仅取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和过硬的解题能力,而且取决于临场的发挥,而临场发挥的好坏与应试策略、答题技巧息息相关,考试的艺术是发挥知识水平的科学方法,应高度重视.我们要把平常考试看成是积累考试经验的重要途径,从时间分配、心理调节、节奏掌握以及整个考试的运筹等诸多方面进行调试,逐步适应.在复习的最后阶段可以专门进行一些解题应试技巧方面的练习,如怎样解选择题、怎样解填空题、怎样解应用题、怎样解探索性问题、联系实际数学问题的对策、综合题的分解战术、数学中的分情况处理、计算的优化、表达的规范性和简洁性练习等等.

[作者单位:华中师大一附中]

责任编辑周汉桥