超级画板动态几何的启发

　　如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，5）和（8，0）。连结AB，得Rt△OAB。在OB上取一点P（动点），四边形OPMN是Rt△OAB的内接矩形，求矩形面积y与OP长度x之间的函数关系式；并求矩形面积的最大值。
　　
　　根据图示，由平行线的比例关系，学生不难解答出函数关系式是： y=-—x2+5x，并求出函数最大值为：当x=4时，ymax=10。
　　但接下来有同学提出这一问题：以点P为顶点的矩形不一定如图示位置，如果过点P作平行于AB且与y轴相交的平行线，然后过点P与这一交点向AB作垂线段，也可以作出内接矩形。这时会是什么样的呢？
　　这一问题立即引起全班学生的注意，也引起了笔者的兴趣。于是，笔者决定用超级画板来制作这一新的情况。课件制作完毕后，笔者和同学们发现一个新大陆：这两个矩形的面积从直觉上看似乎是一样的。于是我动用测量菜单测量了这两个矩形的面积，结果引起一片哗然：这两个矩形的面积在点P移动过程中竟然保持一致。于是同学们很容易猜想到：这两种情境下的函数关系式应该是一样的。
　　有同学通过数学推理计算出第二种情况下的关系式同样是y=-—x2+
　　5x，但是计算过程复杂。但是笔者想，既然它们的面积是一样的，那么是否可以通过几何法来先证明这两个矩形的面积相等，从而不通过计算得出第二种情况下的函数关系式呢？笔者把这个问题交给学生来思考。很快，学生通过添加辅助线，验证了这一结论，辅助线添加如图2所示。
　　
　　如图2，两矩形中△PCM重合，△PCE≌△GAF，△PQM≌△PCM≌△CMN。因此，欲证两矩形面积相等，需证S矩形OQMD＝S平行四边形GMNA，即OQ×OD=GM×GF（OD=PC=GA）＜＝DM×AG＝GM×GF＜＝△DMG∽△FGA，得证。
　　对于这一发现，要归功于超级画板对动态作图以及动态中保持数学关系的支持。
　　当我们掌握了这一结论后，在全体同学的努力下，笔者又和同学们一起完成了这一课件的制作，效果如图3～5所示（原课件见http://www.nettime.net.cn/itedu/news/2008117/20081171214544350.htm）。
　　
　　单击“动画”，演示其中一种内接矩形的位置变化情况以及函数曲线的同步变化；单击“切换多边形”演示另一种位置关系下的面积变化与曲线变化；单击“同台演出”，同时演示两种位置关系下的矩形面积与曲线变化；单击“最高点”显示矩形面积极大值时的情境。
　　这样，此题的价值就不仅是一道综合数学题，它的真正意义在于发现、在于创新学习；不论是从学生的知识掌握还是从学生的思维方式，其价值都不可估量，它直接影响了学生的学习手段与方式的变化。
　　数学本来是无型的，数学归根结底应该是能够使一个孩子变得越来越聪明，使一个孩子的思维更敏捷，这一素质教育本质的东西。所以说，Z+Z智能教育平台与数学课程的整合没有模式，只是一个过程，并且永远只是一个过程。在我们的日常教学工作中，不能只站在一个较高的位置去空谈超级画板支持下的数学课堂，要把学问作细，从小处着眼，自有大学问在。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。