一个绝对值不等式求解的误区

何　峰

问题 若不等式|a-lnx|+ln33x+2>0在x∈［16,13］上恒成立，求实数a的取值范围.

解法1：∵当x∈［16,13］时，ln33x+2∈［0,ln65］，且|a-lnx|≥0，∴当x∈［16,13)时，a∈R；当x=13时，a∈R且a≠ln13，两种情形取交得a的取值范围是a>ln13或a

解法2：|a-lnx|+ln33x+2>0,移项变形为|a-lnx|>-ln33x+2,

∴a-lnx>-ln33x+2或a-lnx

即a>lnx-ln33x+2=ln(x2+23x)或

aln13或a

两种解法的过程都没错，但结果不同，说明两种解法至少有一种所用的知识有问题.经过分析可知，解法1是没问题的，结果无疑是正确的，那解法2就肯定是错误的，问题是错在哪里?错因是什么?为了弄清本质，我们先给出一个最原始的解法.

解法3：|a-lnx|+ln33x+2>0移项变形为|a-lnx|>-ln33x+2，去绝对值得a-lnx≥0，

a-lnx>-ln33x+2，或

a-lnx<0，

a-lnx

a>lnx-ln33x+2或lnx>a，

a

a>ln(x2+23x)或x>ea，

a

当ea≥13,即a≥ln13时，x∈［16,13］(-∞,ea］，ln(x2+23x)的最大值为ln13,∴a≥ln13，取交得a≥ln13;

当ea≤16即a≤ln16时，x∈［16,13］(ea,+∞］，ln(1-23x+2)的最小值为ln15,

∴a≤ln15，取交得a≤ln16;

当16

23ea),∴a>ln(e2a+23ea),解得a

x∈［ea,13］，ln(1-23x+2)的最小值为

ln(1-23ea+2),∴a

几种情形的结果合并得a的取值范围是：a>ln13或a

13.

把解法3与解法2比较就不能发现，解法3是用绝对值的定义去绝对值，解法2是用绝对值的定义导出的公式|x|>a趚>a或x<-a去绝对值，由于公式|x|>a趚>a或x<-a在教科书上有a>0这一条件，而解法3在使用公式|x|>a趚>a或x<-a时没考虑这一条件，这就是说，公式|x|>a趚>a或x<-a(a>0)与公式|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)是不等价的，即按解法3，当a=0时，|x|>a趚>0或x<0趚>a或x<-a；当a<0时，|x|>a趚≥0或x<0，不等价于x>a或x<-a，但{x|x≥0,或x<0}={x|x>a，或x<-a}是正确的.这就是说，{x||x|>a}={x|x>a，或x<-a}(a∈R)是正确的，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)是错误的(只有当a>0是才是正确的)，所以，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)用于解不等式是对的，即形如|f(x)|>a，或|f(x)|>g(x)的不等式都无须对a,g(x)分类讨论而直接使用|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)求解，但用于放缩即加强或削弱(证明)不等式是错误的(只有在a>0时才可用).

由于不等式恒成立的本质是不等式的加强，所以，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)不能普遍使用，又由于|a-lnx|+ln33x+2>0化为|a-lnx|>-ln33x+2，且在x∈［16,13］时，-ln33x+2≤0，仅当x=13时取等号，所以，解法2是错误的.只能用解法1或解法3求解，其中解法1比解法3优越.

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