一个最小值问题的论证
2008-12-10刘步松
刘步松
对于函数f(x)=α1|x-β1|+α2|x-β2|+…+αn|x-βn|,其中αi>0(i=1,2,…,n),βi∈R(i=1,2,…,n),且β1<β2<…<βn,问:当x为何值时f(x)有最小值?本文将证明如下结论:
设α1+α2+…+αn=s,若α1≥s2,则当x=β1时f(x)取得最小值,若α1+α2+…+αr-1 例如求y=6|x-2|+3|x-7|+2|x-9|的最小值,因为6+3+2=11,而6>112,从而当x=2时y取得最小值29.再如,求y=2|x+1|+3|x-1|+5|x-8|+2|x-9|的最小值.由于2 +3+5+2=12,2+3<122,而2+3+5>122,所以,当x=8时y取得最小值41. 从上面的例子可以看出,用给出的结论来判断此类函数当x为何值时有最小值是非常方便的.下面证明本文给出的结论. 1、当α1≥s2时,f(β1)=α1|β1-β1|+α2·|β1-β2|+…+αn|β1-βn|=α1(β1-β1)+α2(β2-β1)+…+αn(βn-β1). (1)设β<β1,f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β1-β)+α2(β2-β)+…+αn(βn-β). f(β)-f(β1)=α1(β1-β)+α2(β1-β)+…+αn(β1-β)=(α1+α2+…+αn)(β1-β)>0,即f(β)>f(β1). (2)设β>β1,不妨设β1<β<β2,在其它位置时同理可证. f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β-β1)+α2(β2-β)+…+αn(βn-β). f(β)-f(β1)=α1(β-β1)+α2(β1-β)+…+αn(β1-β)=(α1-α2-…-αn)(β-β1)>0. 因为α1≥s2,所以α1-α2-…-αn≥0,又β-β1>0,所以f(β)-f(β1)≥0,即f(β)≥f(β1).从而当x=β1时f(x)取得 最小值. 2、α1+α2+…+αr-1 (1)设β<βr,不妨设βr-1<β<βr,其它位置时同理可证: f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β-β1)+α2(β-β2)+…+αr-1(β-βr-1)+αr(βr-β)+…+αn(βn-β). f(β)-f(βr)=α1(β-βr)+α2(β-βr)+…+αr-1(β-βr)+a-r(β-r-β)+…+an(βr-β)=(α1+α2+…+ar-1-ar-…-αn)(β-βr),因为α1+α2+…+αr-1 (2)设β>βr,不妨设βr<β<βr+1,其它位置时同理可证. f(β)=α1|β-β1|+α2|β-β2|+…+αn|β-βn|=α1(β-β1)+α2(β-β2)+…+αr·(β-βr)+αr+1(β-r+1-β)+…+a-n(βn-β), f(β)-f(βr)=α1(β-βr)+α2(β-βr)+…+αr(β-βr)+a-r+1(β-r-β)+…+an(βr-β)=(α1+α2+…+ar-ar+1-…-αn)(β-βr),因为α1+α2+…+αr≥s2,所以α1+α2+…+αr-αr+1-…-αn≥0,又β-βr>0,所以f(β)-f(βr)≥0,即f(β)≥f(βr),当x=βr时,f(x)取得最小值,证毕. 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文