对一个优美不等式猜想的否定

王明建　王桂花

文［1］、［2］给出了一对非常优美的姐妹不等式：

设a、b、c都是正数，且a+b+c=1,则有：

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3 (1)

(1b+c+a)(1c+a+b)(1a+b+c)≥(116)3 (2)

当且仅当a=b=c=13时取等号.

文［3］把(1)推广到n元的情形，设ai(i=1,2,…，n)都是正数，且∑ni=1ai=1(n≥2),则有

∏ni=1(11-ai-ai)≥(n2-n+1n(

n-1))n (3)

并给出了证明.

关于不等式(2)，文［1］提出的猜想是：

设ai(i=1,2,…，n)都是正数，且∑ni=1ai=1(n≥2)，则有∏ni=1(11-ai+ai)≥(n2+n-1n(n-1))n(4)

当且仅当a1=a2=…=an=1n时取等号.

此猜想不成立，现举出反例如下：

当n=4时，我们取a1=a2=0.49,a3=a4=0.01,此时，左边=∏ni=1(11-ai-ai)=(10.51+0.49)2(10.99+0.01)2=6.25023774…<6.26.

而右边=(nn-1+1n)n=(43+14)4=(1912)4=6.28479038…>6.28.

因为6.26<6.28，所以，左边<右边.

即当n=4时，不等式(2)的推广式不成立.

我们从极限的角度来思考，当n>3时，取x1=x2→0.5,x3=x4=…=xn→0,对左边取极限，有

limxi→0.5∏2i=1(11-xi+xi)·limxi→0∏ni=3(11-xi

+xi)=2.52×1n-2=6.25.、而当n取正整数，且趋于无穷时，对右边取极限，有limn→+∞(1+2n-1n(n-1))n=e2=7.38904616….

所以，当n>3时，不等式(2)不一定成立.

参考文献

［1］魏烈斌.不等式中的一对姐妹花［J］.数学通讯.湖北.2007，5.P45-46.

［2］赵思林，潘超.一个不等式的简捷证明［J］.中学数学研究.江西，2007，10.P12-13.

［3］王明建.一个优美不等式的推广及证明［J］.中学数学研究.江西，2008，2.P17-18.

［4］匡继昌.常用不等式［M］.山东科学技术出版社.2004，1.P10-11.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文