一类全等抛物线有关的一组优美性质
2008-12-10吴赛瑛
吴赛瑛
文[1]介绍了相似椭圆的一组性质,文[2]将文[1]的性质推广到双曲线上,并增加了一些优美性质.笔者读后深受启发,考虑抛物线上是否有类似的性质?答案是肯定的.故本文给出一类全等抛物线的一组性质,叙述如下:
为了行文方便,本文约定抛物线C1的方程为y2=2px(p>0),抛物线C2的方程为y2=2p(x-a)(p>0,a>0).显然C2是由C1向右平移a个单位得到的,故C1与C2全等.
定理1 如图1所示,过抛物线C2上任一点P引C2的切线l交抛物线C1于A,B两点,则|PA|=|PB|.
证明:设点P的坐标为(x0,y0),A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
①若y0=0,定理1显然成立;
②若y0≠0,则过点P的切线l的方程为y-y0=py0(x-x0).联立
y-y0=py0(x-x0),
y2=2px,消去x可得y2-2y0y+y20-2pa=0.从而y1+y2=2y0,故易得|PA|=|PB|.综上得,定理1成立.
定理2 如图2所示,若直线l与抛物线C1交于A,B两点,与抛物线C2交于C,D两点,则|AC|=|BD|.
证明:设直线l方程为my=x+b,A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为N(x0,y0).联立my=x+b, y2=2px,消去x可得y2-2pmy+2pb=0.从而有
x0=12(x1+x2)=pm2-b,
y0=12(y1+y2)=pm,即线段AB的中点为(pm2-b,pm).同理可得线段CD的中点为(pm2-b,pm),于是线段AB、CD中点重合.故有|AC|=|BD|,即定理2得证.
定理3 如图3所示,若点P为抛物线C2上任意一点,过点P引抛物线C2的切线交抛物线C1于A,B两点,过点A,B分别引抛物线C1的切线交于点Q,则
(1)点Q的轨迹方程为y2=2p(x+a)(p>0,a>0);
(2)△ABQ的面积为定值.
证明:设点P的坐标为(x0,y0),切点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)①若y0=0,易求点Q坐标为(-a,0);
②若y0≠0,则过点P的切线l的方程为
y-y0=py0(x-x0).
联立y-y0=py0(x-x0),
y2=2px,消去x可得
y2-2y0y+y20-2pa=0.利用求根公式可得y=y0±2pa,另外由韦达定理可得
y1+y2=2y0,
y1y2=y20-2pa.不妨设点A的纵坐标为y0+2pa,则有A((y0+2pa)22p,y0+2pa),B((y0-2pa)22p,y0-2pa).在抛物线C1上,过点A的切线方程为y-(y0+2pa)=py0+2pa(x-(y0+2pa)22p),化简得px-(y0+2pa)y+(y0+2pa)22=0.
同理有,过点B的切线方程为px-(y0-2pa)y+(y0-2pa)22=0.
联立两切线方程可求得其交点Q的坐标为(y202p-a,y0),易得点Q的轨迹方程为y2=2p(x+a)(p>0,a>0),显然(-a,0)也满足方程.
(2)①若y0=0,易求S△ABQ=a8pa;
②若y0≠0,由(1)得|AB|=1+y20p2·(y1+y2)2-4y1y2=p2+y20p·8pa.而直线AB的方程为:y-y0=py0(x-x0),即px-y0y+y20-px0=0.故点Q到切线AB的距离为2pap2+y20.从而有S△ABQ=12·p2+y20p·8pa·2pap2+y20=a8pa.
综合(1)(2)可得,定理3成立.
参考文献
[1]张勇赴.相似椭圆的一组性质.数学通讯,2006(13).
[2]杨军.相似双曲线的一组优美性质.数学通讯,2007(1).
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文