化归思想在数学解题中的运用

季　进

对于如何解题，G•波利亚曾说过，解题的成功要靠正确的转化.化归思想是指在解决问题的过程中，将那些有待解决或难以解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题来解决的一种数学思想方法.解决数学问题的过程是创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性.当我们接触的问题难以入手时，思维就不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的.本文运用化归思想，例谈解题中的转化方法，希望能给备考中的广大一线师生些许启发.

1.降格转化

降格转化是指当人们对复杂的事物或抽象的事物一时认识不清时，则暂时退到简单的、但仍能保持事物特征的形态，以寻找事物的规律或关系的一种策略.

例1 解方程2x3+(4+3)x²-3=0.

思路分析：这是一个关于x的一元三次方程，若用因式分解、配方求根等常规方法都不易求得方程的解.观察方程的系数和常数特点，可以看出3的平方是3，故不妨退一步考虑问题，把x看作“常数”，把3看作“变量”，从而得到解法.

解：将原方程变为(3)2-x²•(3)-(2x 3+4x²)=0，将此方程看作关于3的一元二次方程，则△=x4+4(2x3+4x²)=(x²+4x)2,∴3=x²±△2=x²±(x²+4x)2,

∴3=-2x或3=x²+2x，∴x1=-32,x2=1+3-1,x3=-(1+3+1).

抓住问题的本质，以退为进，退到我们能看清问题的地方，认透了再上去，“退一步海阔天空”在此题的解法中体现得淋漓尽致!

2.升格转化

升格转化是指把维数较低或抽象水平较低或整体性较弱的有关问题转化为维数较高或抽象水平较高或整体性较强的问题，通过对两者的性质及关系的考察，从而使原来的问题获得解决.

例2 求玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A)的值.

思路分析：采用降幂公式或两角的和差公式展开，过程比较复杂.如果利用“对称性”，构造对偶式，则可得巧解.

解：设y=玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A),x=玸in2A+玸in2(60°-A)+玸in2(60°+A)，则有x+y=3，又y-x=玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A)=玞os2A+2玞os120°玞os2A=0,于是y=x=32，则玞os2A+玞os2(60°-A)+玞os2(60°+A)=32.

3.缩格转化

缩格转化是指在问题的条件系中寻找最小的独立完全系，从而使问题只涉及最小独立完全系的问题的策略.例如等差、等比数列的变量系中只含有三个独立变量；有心圆锥曲线也只有三个独立变量；对于几何题也常用寻找最小独立完全系的方法，使问题得到解决.

例3 已知圆满足(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0距离最小的圆的方程.

析解：由已知可设所求的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，把问题转化为a,b,r这三个变量的求解问题.

由条件可得r2=2b2,

r2=a2+1,又点(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|5，所以，5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时取等号，即当a=b时d取最小值1.故得到a=b,

2b2-a2=1,此时把问题中的独立变量变成了两个.解得a=1,

b=1，或a=-1,

b=-1，可得r=2，于是所求的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.

4.更格转化

更格转化是指保持数学问题的某些不变性质，改变信息形态，借以解决问题的策略，这种策略就是数学上常用的化归的思想方法.如换元，方程的同解变形；平移变换；坐标与向量间互化；参数法；数形结合等等.

例4 求函数y=x-x32(1+2x²+x4)的值域.

思路分析：本题的分式结构与三次、四次方的同时出现，给学生的心理构成了一定的障碍，多数同学一筹莫展，无从下手.用导数求最值的方法去求解，运算过程异常繁复；如能通过变形、联想三角中的万能公式，则眼前豁然开朗、一片光明!

解：原函数可化为y=14•1-x²1+x²•2x1+x²,设x=玹anα，则1-x²1+x²=玞os2α,2x1+x²=玸in2α,所以y=14玸in2α玞os2α=18玸in4α,根据正弦函数的有界性可知-18≤y≤18.

5.逆格转化

逆格转化就是对于一些数学问题，如果从正面思考难以奏效时，不妨尝试从反面入手，巧用逆向思维解题的策略.比如借助反证法来找到解决问题的途径.

例5 函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R),x∈［-1,1］，求证：|f(x)|的最大值M≥12.

证明：假设M<12，则|f(x)|<12恒成立，∴-122

评注：本题除取x=-12外，x还可取那些值呢?留给读者思考，问题很有趣!证明过程简洁，是因为灵活地选取特殊值，并对其进行了“意想不到”的分类讨论!最后借助不等式的放缩法等最基本的技巧来完成解答，充分体现了解题机智.

例7 设a0为常数，且an=3n-1-2an-1(n∈N*).

(1)证明：对任意n∈N*，an=15［3n+(-1)n-1•2n］+(-1)n•2na0;

(2)假设对所有an>an-1，求a0的取值范围.

思路分析：(1)如果设an=a•3n-2(an-1-a•3n-1),用an=3n-1-2an-1代入，可解出a=15.所以{an-3n5}是公比为-2，首项为a1-35的等比数列.an-3n5=(1-2a0-35)•(-2)n-1(n∈N*)，即an=3n+(-1)n-1•2n5+(-1)n•2n•a0.

(2)由an通项公式an-an-1=2•3n-1+(-1)n-13•2n-15+(-1)n•3•2n-1•a0.∴an>an-1(n∈N*)等价于

(-1)n-1(5a0-1)<(32)n-2(n∈N*) ①

(玦)当n=2k-1,k=1,2,…时，①式即为(-1)2k-2(5a0-1)<(32)2k-3，即为a0<15(32)2k-3+15 ②

②式对k=1,2,…都成立，有a0<15•(32)-1+15=13.

(玦i)当n=2k,k=1,2,…时，①式即为

(-1)2k-1(5a0-1)<(32)2k-2.即为a0>-15•(32)2k-2+15 ③.③式对k=1,2,…都成立，有a0>-15•(32)2×1-2+15=0.

综上，①式对任意n∈N*成立，有0

评注：参数分离法是解决“恒成立问题”中参数取值范围的常用方法，这里因为a0的系数为(-1)n，故对n进行了“情理之中”的分类讨论，使问题化整为零，各个击破，凸显了分格策略的神奇功效.

综上的六种转化思维策略，以其适用的广泛性而区别于解题的具体思路和方法，六种转化策略注重联想、类比、反思，并藉此提高解题的灵活性和准确性，培养思维的广阔性和深刻性.尽管高考题的命题方向是“出新题，考能力”，而且解高考题的思维策略也是因题而异，但是思维策略的指向性是一致的，就是抓住问题的本质，挣脱知识框架的束缚，构筑起解题的新平台，尽可能把新问题转化为某一个已经解决或较易解决的问题，并最终实现问题的解决.